¿Si un poset finito tiene elementos más y menos, es un enrejado?

Question

Deje $P$ ser finito parcialmente ordenado conjunto con elementos de la $0$ $1$ tal que $0 \le x \le 1$ cualquier $x \in P$. De lo anterior se sigue que el $P$ es una red? Si no, ¿qué es un contraejemplo?

Creo que este es un contraejemplo, pero no estoy del todo claros en la definición de una red, así que estaba esperando que alguien podría confirmar o negar:

  1
 / \
a   b
|\ /|
| / |
|/ \|
c   d
 \ /
  0

En este poset, $a$, $b$, y $1$ son límites superiores de la set $\{c,d\}$, pero $a$ $b$ son incomparables, por lo $\{c,d\}$ no tiene menos de límite superior.

Answer 1

Una celosía es un poset $P$ en que #% el %#% y $x\lor y$ existen para todas las $x\land y$.

Tu ejemplo es un ejemplo de un poset finito con parte superior e inferior que no es un enrejado, por las razones que usted declaró.

Answer 2

Usted puede tomar el conjunto de divisores de un número entero positivo $n$ ordenado parcialmente por la condición de divisibilidad. Claramente $n$ y $1$ será máximo global y mínimo. Ello en leat por ciento $n$con dos divisiones principales, decir $n=24$. Dibujar el diagrama de Hasse de este poset y puede quitar un elemento convenientemente para obtener más ejemplos.