Encontrar todas las soluciones en números enteros positivos de $a^b -b^a = 3$

Question

Encontrar todas las soluciones en números enteros positivos de $a^b -b^a = 3$

Parece que la única solución es $a=4, b=1$ .

La aritmética modular no es de mucha ayuda (aparte de derivar que $a,b$ deben tener paridad opuesta).

Sabemos que $a^x$ domina el polinomio $x^a$ pero esto no parece dar el resultado.

Se ha intentado calcular un límite para $a^b - b^a$ pero sin éxito.

Se agradece cualquier ayuda. Este es un problema de una olimpiada regional de matemáticas.

Añadido el 26 marzo, 2017:

Intentaba encontrar una solución que no implicara Cálculo (o un mínimo de Cálculo) ya que se trata de un problema de una Olimpiada Junior en la que los alumnos no tienen conocimientos de Cálculo. El siguiente argumento parece funcionar. Por favor, señale los fallos/errores, si los hay.

Lema 1 Para cualquier $n \geq 4$ , $$n^{n+1} - (n+1)^n > (n-1)^n - n^{n-1}$$ Prueba \begin{align*} &\qquad n^{n+1} - (n+1)^n > (n-1)^n - n^{n-1} \\ &\Leftrightarrow n^{n+1} + n^{n-1} > (n-1)^n + (n+1)^n \\ &\Leftrightarrow n+\frac{1}{n} > \left(1-\frac{1}{n}\right)^n + \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{align*} Desde $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n < 3$ y $\left(1-\frac{1}{n}\right)^n < 1$ tenemos $$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n+\left(1-\frac{1}{n}\right)^n < 4 < n +\frac{1}{n}$$ Lema 2 Para cualquier $k$ y $n \geq 4$ , $$n^{n+k} -(n+k)^n > n^{n+1} - (n+1)^n$$ Prueba \begin{align*} &\qquad n^{n+k} -(n+k)^n > n^{n+1} - (n+1)^n \\ &\Leftrightarrow n^{n+k} -n^{n+1} > (n+k)^n - (n+1)^n \\ &\Leftrightarrow n^k - n > \left(1+\frac{k}{n}\right)^n - \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{align*} Desde $\left(1+\frac{k}{n}\right)^n < 3^k$ y $\left(1-\frac{1}{n}\right)^n < 1$ tenemos $$\left(1+\frac{k}{n}\right)^n+\left(1-\frac{1}{n}\right)^n < 3^k +1 < n^k - n $$ como $n > 4$ .

Supongamos ahora que $a^b - b^a = 3$ . Sea $a \geq 4$ . Si $b = a+k > a$ entonces tenemos \begin{align*} a^{a+k} - (a+k)^a &> a^{a+1} - (a+1)^a \\ &> (a-1)^a - a^{a-1} \\ &> \cdots \\ &> 3^4 - 4^3 = 17 \end{align*} Por lo tanto, no hay soluciones con $b > a \geq 4$ .

Si $a > b \geq 4$ entonces $$a^b - b^a = -(b^a - a^b) \leq -17 $$ por lo que hemos visto anteriormente. Por lo tanto, no hay soluciones si $a > b \geq 4$ . Por lo tanto, todas las soluciones sólo pueden estar en el intervalo $1 \leq a,b \leq 4$ . Claramente, en este rango sólo $a=4, b=1$ satisface la ecuación dada.

Answer 1

Considere $$f_a(x)=x\ln(a)-a\ln(x)$$ con $a,x\ge 3$

Tenemos $$f_a'(x)=\ln(a)-\frac{a}{x}>0$$ para $x>\frac{a}{\ln(a)}$

En particular, $f_a(x)$ es estrictamente creciente para $x\ge a$ y tenemos $$f_a(a+1)=(a+1)\ln(a)-a\ln(a+1)$$

La función $g(x)=(x+1)\ln(x)-x\ln(x+1)$ tiene derivada $g'(x)=\ln(x)-\ln(x+1)+\frac{x+1}{x}-\frac{x}{x+1}=\ln(\frac{x}{x+1})+\frac{2x+1}{x^2+x}>\ln(\frac{x}{x+1})+\frac{1}{x}=\frac{1}{x}-\ln(1+\frac{1}{x})>0$ para $x\ge 3$

Así, tenemos $f_a(x)\ge 0.235566$ para $3\le a\le x$ de ahí $$x\ln(a)\ge a\ln(x)+0.235566$$ que implica $$a^x>1.26x^a$$

Desde $x^a\ge 27$ podemos concluir $$a^x>x^a+7$$

Esto excluye $3\le a<x$

El caso $3\le x<a$ puede descartarse analógicamente cambiando los papeles de $a$ y $x$ . $a=x$ pueden descartarse de todos modos.

Ahora, mostramos $2^a>a^2+3$ para $a\ge 5$ por inducción

$a=5$ : $2^5=32>28=5^2+3$

$$2^{a+1}=2\cdot 2^a>2(a^2+3)=2a^2+6>a^2+2a+4=(a+1)^2+3$$

para $a^2>2a-2$ o $a^2-2a+2=(a-1)^2+1>0$ que se cumple para cada $a$

El caso $x=1$ y el resto de casos para $x=2$ puede verificarse fácilmente.

Answer 2

Considere $g(t) = a^t - t^a .$ Entonces $g'(t) = (\ln a) a^t - at^{a-1}$ .

Tenga en cuenta que $$ \left(\frac{t}{\ln (t)} \right )' = \frac{(-1 + \ln(t))}{\ln^2(t)}$$ y $$\left( \frac{t-1}{\ln(t)}\right)' = \frac{t(\ln (t) -1)+1}{t \ln^2(t)} $$ Así, tanto $t /\ln t$ y $(t-1)/\ln t$ son estrictamente crecientes para $t > e$ . Por lo tanto, para $a,t > e$ y $t >a$ , $a^t > t^a$ y $$ \frac{t-1}{\ln t} > \frac{a-1}{\ln a}$$ $$\Rightarrow a^{t-1} > t^{a-1} $$ $$\Rightarrow a^t > at^{a-1} $$ $$\Rightarrow (\ln a)a^t > at^{a-1}$$ Es decir, para $a,t > e$ y $t >a$ , $g(t)$ es estrictamente creciente. Así, para enteros positivos $ n, m \geq 3, n \neq m$ , $|n^m-m^n| = n^m - m^n $ si $m >n$ y $m^n - n^m$ si $n > m$ . Como g es creciente, tenemos $|n^m-m^n| \geq |n^{n+1}-(n+1)^n|$ o $|n^m-m^n| \geq |m^{m+1}-(m+1)^m|$ .

Ahora, tenga en cuenta que $h(x) = x^{x+1} - (x+1)^x$ aumenta para $x \geq 3$ . Así $|n^m-m^n| > |3^4-4^3| = 17 > 3$ . Por lo tanto, no existen soluciones enteras positivas para $n,m \geq 3$ . Los casos $n$ o $m \in \{1,2\}$ son fácilmente verificables, y la solución que has encontrado es la única.