¿Sigue de Teorema de Pitt que el espacio de operadores acotados de $\ell_2$ $\ell_p$ ($p<2$) es realmente reflexivo? ¿Tenemos $$ \mathcal{B}(\ell_2, \ell_p) = \mathcal{K}(\ell_2, \ell_p) $$ así que por norma dualidad también $ \mathcal{K} (\ell_2, \ell_p)^{**} = \mathcal {B}(\ell_2, \ell_p) $$ es esto cierto?
Respuesta
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mona
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Prueba №1. En el artículo Sobre la structre del tensor de productos de $\ell_p$-espacios se afirma que $$ \ell_{p_1}\otimes_\pi\ldots\otimes_{\pi}\ell_{p_n} $$ is reflexive if $r(p_1,\ldots,p_n):=\min\left(1,\sum_{k=1}^n p_k^{-1}\right)^{-1}>1$.
Deje $q$ ser conjugado de a$p$, $q>2$ y de las respectivas $r(2,q)>1$. Por lo tanto $\ell_2\otimes_\pi \ell_q$ es refexive. Tenga en cuenta que $$ \mathcal{K}(\ell_2,\ell_p)=\mathcal{B}(\ell_2,\ell_p)=\mathcal{B}(\ell_2,\ell_q^*)=(\ell_2\otimes_{\pi}\ell_q)^* $$ Por lo tanto $\mathcal{K}(\ell_2,\ell_p)$ es reflexiva como doble de espacio reflexivo.
Prueba №2. En el artículo Observaciones en espacios de Banach de compacto operadores del teorema 2 se establece que si $E$ $F$ espacios de Banach uno de los cuales se han aproximación de la propiedad, a continuación, los siguientes son equivalentes
- $\mathcal{K}(E,F)$ es reflexiva
- $\mathcal{B}(E,F)$ es reflexiva
- $E$ $F$ son reflexivos y $\mathcal{K}(E,F)=\mathcal{B}(E,F)$
Ahora tome $E=\ell_2$, $F=\ell_p$. Ellos son a la vez reflexivo. Desde $E$ admite Shauder base (cualquier ortonormales base fit), entonces se tiene la aproximación de la propiedad. Por Pitt teorema $\mathcal{K}(E,F)=\mathcal{B}(E,F)$. De ahí tercera condición del teorema anterior se cumple, por lo $\mathcal{K}(E,F)$ es reflexiva.
Comentario Uno puede ver fácilmente que el último enfoque puede dar más resultado general: si $1<p<q<\infty$ $\mathcal{K}(\ell_p,\ell_q)$ es reflexiva.
