¿Cómo resolver esta desigualdad de logaritmos con el valor absoluto como base?

Question

¿Cómo se puede hacer frente a esto?

$$ \log_ {|1 - x|} (x+5)>2 $$

el $|1-x|$ es la base del logaritmo.

Intenté este enfoque de abajo pero parece que no es la solución completa. \begin {alinear} \frac { \log (x+5)}{ \log |1-x|} & > 2 \\ { \log (x+5)} & > 2{ \log |1-x|} \\ { \log (x+5)} & > { \log |1-x|^2} \\ (x+5) & >|1-x|^2 \\ (x+5) & >(1-x)^2 \\ (x+5) & >1-2x+x^2 \\ x^2-3x-4& < 0 \end {alinear} $$ -1<x<4 $$ También comprobé con wolframalpha. https://www.wolframalpha.com/input/?i=log+%5Babsolut(1-x),+(x%2B5)%5D%3C2

Aprecio su ayuda.

Answer 1

Mira las fotos. Verás que hay dos casos para el problema.

Aquí tiene un enlace a : Wolfram Alpha

Espero que esto ayude. Si necesitas ayuda para resolver las inecuaciones individuales, comenta y te lo mostraré también.

Answer 2

Sugerencia : Tenga en cuenta que la base debe ser $$\left| 1-x \right| \neq 1\Rightarrow x\neq 0\quad \& \quad x\neq 2$$ y $$x+5>0\quad \Rightarrow \quad x>-5$$

Answer 3

Desarrollando la idea de kingW3, sabremos por qué esa región está vacía en la solución . En primer lugar, observamos que $x \ne 1$ .

El problema en el cuerpo de la pregunta es la transición de $$\frac{\log(x+5)}{\log|1-x|} > 2\tag1\label1$$ a $${\log(x+5)} > 2{\log|1-x|}.\tag2\label2$$

Al descuidar el caso 2, no captamos la región vacía $0 < x < 2$ en el rango para $x$ .

Caso 1: $\log|1-x|>0 \iff |1-x|>1 \iff x<0$ o $x>2$ . Utilizando los cálculos anteriores de OP, obtenemos $-1 < x < 0$ o $2 < x < 4$ que coincide con el gráfico de la página de Wolfram Alpha enlazada.

Caso 2: $\log|1-x|<0 \iff 0<|1-x|<1 \iff 0 < x < 1$ o $1 < x < 2$ .

Deberíamos invertir la desigualdad \eqref {2} en este caso ya que estamos multiplicando \eqref {1} por a negativo denominador $\log|1-x|$ .

$${\log(x+5)} < 2{\log|1-x|}$$

En consecuencia, las desigualdades en el cuerpo de la pregunta que se derivan de \eqref {2} debe ser invertido hasta que $x^2-3x-4>0$ de lo que se deduce $x<-1$ o $x>4$ . La intersección de $(-\infty,-1)\cup(4,\infty)$ con $(0,1)\cup(1,2)$ est vacío Así que no valor real de $x$ satisface el caso 2.

Por lo tanto, la solución es $-1<x<0$ o $2<x<4$ .