Matemáticamente hablando, ¿hay alguna diferencia esencial entre el problema del valor inicial y de valor en la frontera de los problemas?
La especificación de los valores de una función $f$, y el de "velocidades" $\frac{\partial f}{\partial t}$ en un tiempo inicial $t=0$ también puede ser visto, yo creo que, como la especificación de los valores de límite, ya que los límites de la variable $t$ son, por lo general, en $t=0$$t<\infty$.
Cuando sólo hay una espacial de la variable, a continuación, matemáticamente, los dos son indistinguibles. Pero a menudo el valor de límite de los problemas se resuelven a través de una de las dimensiones superiores de dominio. Por ejemplo, un problema común en la física es resolver la ecuación de Laplace a través de una región espacial en tres dimensiones, con una superficie bidimensional, proporcionando las condiciones de frontera. Si la condición de contorno especifica el valor de la solución en la superficie, entonces se llama una condición de frontera de Dirichlet. Sin embargo, a veces la condición de contorno especifica el normal derivado de la solución en la superficie, y entonces se le llama una condición de frontera de Neumann. Valor de límite problemas más multi-dimensional dominios están necesariamente ligados a las ecuaciones diferenciales parciales en lugar de ecuaciones diferenciales ordinarias, y por lo tanto son más complicadas que las ecuaciones diferenciales ordinarias con un único valor inicial especificado.
En muchos casos, realmente no hay diferencia. Pensar en la especificación de los valores iniciales como valores límite en un "segmento de tiempo." (Por cierto, me dirigí a una pregunta tangencialmente relacionado con esto, el otro día: la Diferenciación de Propagador, Verdes función, la función de Correlación, etc) sin Embargo, a veces la especificidad de llamar a algo un valor inicial pregunta podría indicar algo útil acerca de la frontera, por ejemplo, que es una de Cauchy de la superficie y el resto de espacio, se encuentra en su causal futuro/pasado si el problema es relativista.
Me parece que la diferencia es semántica:
Está implícito que uno está buscando una solución específica a un problema en tiempo y espacio dados los valores iniciales.
Las condiciones de límite límite las soluciones pero no recoja una solución específica, salvo que se usen los valores iniciales.
Valores iniciales recogen una solución específica de la familia de soluciones permitidas/definido por las condiciones de límite.
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