¿Qué teorías de conjuntos sin el axioma del conjunto potencia se utilizan ocasionalmente?

Question

Para obtener una teoría de conjuntos sin el axioma del conjunto de potencia, podría simplemente tomar una teoría de conjuntos existente como ZF o ZFC, y eliminar el axioma del conjunto de potencia. Sin embargo, tal vez tendría que tener cuidado de cómo formular los otros axiomas entonces, o tener que añadir algunas sentencias que eran demostrables antes en presencia del axioma del conjunto de potencias como axiomas adicionales.

Así que si necesito una teoría de conjuntos sin el axioma del conjunto de potencia, parece más prudente utilizar una teoría ya investigada con suficiente detalle por otra persona. Por supuesto, la teoría debe ser lo suficientemente "buena" para que se siga utilizando al menos ocasionalmente. (Si ZF o ZFC sin el axioma de conjunto de potencias resultan ser tales teorías, entonces, por supuesto, también califican como una respuesta).

Answer 1

Echa un vistazo a "¿Qué es la teoría ZFC sin conjunto de energía?" por Victoria Gitman, Joel David Hamkins, Thomas A. Johnstone, disponible gratuitamente en arxiv: http://arxiv.org/abs/1110.2430

Esto parece ofrecerle un excelente (¡y reciente!) punto de partida para pensar en su pregunta. Una cosa que el artículo deja clara es que la cuestión de lo que se puede demostrar en una teoría sin el axioma del conjunto de potencias depende de la elección de los axiomas restantes (sistemas equivalentes de axiomas para la teoría de conjuntos, ambos incluyendo el axioma del conjunto de potencias, pueden convertirse en no equivalentes cuando se elimina el axioma del conjunto de potencias).

Answer 2

La respuesta de Peter probablemente aborda su pregunta más directamente, pero pensé que podría mencionar que Teoría de conjuntos de Kripke-Platek es una teoría de conjuntos ampliamente estudiada que omite el axioma del conjunto potencia. Es más débil que la teoría $\mathsf{ZFC}^-$ del documento de Gitman-Hamkins-Johnstone, pero tiene lo que se podría considerar como la ventaja de que ha existido durante más tiempo.

Answer 3

El artículo de la SEP sobre Teorías alternativas de conjuntos axiomáticos menciona al menos dos teorías de conjuntos (basadas en la lógica de primer orden clásica) sin el axioma del conjunto potencia: Teoría de conjuntos de Kripke-Platek con ureles y Teoría de conjuntos de bolsillo .

Como tema común de lo que he aprendido hasta ahora, parece prudente evitar el esquema axiomático de reemplazo y en su lugar utilizar el esquema axiomático de colección o el Axioma de limitación de tamaño . La limitación del tamaño parece ser bastante más fuerte que el reemplazo, aun así a menudo sirve de motivación para el axioma de reemplazo. También he observado que el axioma de elección parece estar mejor formulado como principio de buen orden. Otro tema parece ser la reformulación del axioma de regularidad (fundamento) como un $\in$ -sistema de inducción.

Una teoría que no se ha tocado es $\mathsf{ZF^-}$ pero probablemente sólo quitando el principio de buen orden de $\mathsf{ZFC^-}$ hará el truco sin más sorpresas desagradables.