Problema de geometría diferencial de curva paralela

Question

Vamos $\alpha (s)$ , $s\in [0,L]$, ser un suave positivamente orientada a regular se jodan curva de arco de longitud parametrizada. La curva de $\beta(s)=\alpha (s) +\lambda n(s)$ donde $\lambda$ es una constante positiva y $n(s)$ es el vector normal, es un paralelo de la curva de a $\alpha$.

Ya he demostrado que:

1)$ \text{Length}(\beta(s))=\text{Length}(\alpha) -2\pi \lambda$

2)$K_{\beta}(s)=\frac{K{\alpha}(s)}{1-\lambda K{\alpha}(s)}$

Ahora, tengo que calcular el área de $\beta$ en términos del área de $\alpha$: $A(\Omega_{\alpha})$

$\beta(s)=\alpha (s) +\lambda n(s)= (\alpha_1 (s) +\lambda n_1(s),\alpha_2 (s) +\lambda n_2(s))$

$\beta'(s)=\alpha '(s) +\lambda n'(s)=(\alpha _1'(s) +\lambda n_1'(s),\alpha _1'(s) +\lambda n'_1(s))$

Por el corolario del teorema de Green,

$A(\Omega_{\beta})=-\int_{0}^L (\alpha_2 (s) +\lambda n_2(s))(\alpha _1'(s) +\lambda n_1'(s))ds=$$-\int_{0}^L (\alpha_2\alpha_1'+\lambda \alpha_2 n_1'+\lambda n_2\alpha _1'+\lambda^2n_2n_1') $=

El uso, las fórmulas de Frenet: $n_1'(s)=-k(s)\alpha_1'(s)$ tenemos:

=$A(\Omega_\alpha)+\int_{0}^L \lambda k\alpha_2\alpha_1'-\int_{0}^L n_2\alpha_1'+\int_{0}^L \lambda^2kn_2\alpha_1'$

No sé cómo continuar o si esta es la manera correcta de hacerlo.

***Son las fórmulas anteriores para la curvatura de la longitud y el área sigue siendo cierto para un general $\alpha$?

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Que $\gamma_t(s)=\alpha(s)+t \mathbb{n}, \forall t\in [0,\lambda]$. Tenemos $\gamma_0=\alpha$ $\gamma_{\lambda}=\beta$ y la zona entre $\alpha$y $\beta$ está parametrizado por $(s,t)$. Que denotan como la curvatura de $k(s)$ $\alpha$ $s$. Primero vamos a demostrar que el vector tangente usando la notación de wiki y el uso exterior normal como la positiva dirección: $$\frac{\partial\gamma}{\partial t}=\mathbb{n}$ $ $$\frac{\partial\gamma}{\partial s}=\dot{\alpha} +t\dot {\mathbb{n}}=T+tkT=(1+tk)T $ $ $\{T, \mathbb{n}\}$ es una base orthonormal del elemento de área puede ser escrito como $$d\sigma=(1+tk)dt\wedge ds$ $ ahí $$A(\Omega_\beta)-A(\Omega_\alpha)=\int d\sigma$ $ $$=\int(1+t\cdot k)dt\wedge ds$ $ $$=\int\int dt ds + \int t\cdot ({\int kds}) dt$ $$=\lambda L + 2\pi\int t dt$$ % $ $$=\lambda L + \pi \lambda^2$ $