Inducida por mapa en $K_{1}$-grupo

Question

Que $A$ ser un unital $C^{\ast}$-álgebra. Cualquier automorfismo $\alpha$ $A$ induce un mapa $K_{1}(A)$ $\alpha_{\ast}[u]=[\alpha(u)]$.

¿Deje el automorphism $\alpha$ ser interior, sigue que $\alpha_{\ast}$ es el mapa de identidad?

Supongo que la respuesta es negativa porque la equivalencia unitaria es lejos de homotopía de unitaries. La respuesta puede depender también del tipo de $C^{\ast}$-álgebra. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

En resumen: esto es básicamente debido a $K_1(A)$ es Abelian, y es verdad para cada interior automorphism de todos los $C^*$-álgebra. Pero si uno quiere ser cuidado, hay un par de cosas para ver y recordar. Voy a asumir como tú que $A$ es unitaria, pero eso es cierto en general, con la misma prueba, en sustitución de $A$$\widetilde{A}$.

1) datos Preliminares: nos vamos a denotar $(K_1(A),+)$. Este es un grupo Abelian para cualquier $C^*$-álgebra $A$, y en el estándar de imagen, tenemos $K_1(A)=\{[u]\,;\,u\in U_\infty(A)\}$.

Para cada $v,w$ en el mismo $U_n(A)$, tenemos $$ [vw]=[wv]=[v]+[w]. $$

Eso es una consecuencia directa de Whitehead del lexema. Precisamente $$ \pmatrix{u&0\\0&v}=\pmatrix{u&0\\0&1}\pmatrix{0&1\\ 1&0}\pmatrix{v&0\\0&1}\pmatrix{0&1\\ 1&0}\sim_h \pmatrix{uv&0\\0&1} $$ donde la rhs homotopy de la siguiente manera a partir de la continua $2\times 2$ unitario camino $$ \pmatrix{\cos t&\sen t\\ \sen t&-\cos t }. $$ Y la conjugación por la misma ruta de acceso en el lado izquierdo permite el intercambio de $u$$v$, de donde el resultado.

En particular, para cada unitaria $u_n$$U_n(A)$, tenemos $$ 0=[1_n]=[u_nu_n^*]=[u_n]+[u_n^*]. $$

Nota: con el hecho anterior, es fácil deducir que el $K_1(A)$ es de hecho Abelian. Con $u\in U_n(A)$$v\in U_m(A)$, podemos suponer $m=n$ hasta la adición de algunos $1$'s abajo de la diagonal. A continuación,$[u]+[v]=[u\oplus v]=[(uv)\oplus 1]=[(vu)\oplus 1]=[v\oplus u]=[v]+[u]$.

2) Prueba: supongamos ahora $\alpha$ es un interior automorphism de $A$, que es existe $u$ unitario en $A$ tal que $\alpha(x)=uxu^*$ por cada $x\in A$. Permítanos calcular $\alpha_\ast=K_1(\alpha)$$K_1(A)$, que es en $[v]$ por cada $v\in U_n(A)$, para cada $n\geq 1$.

El punto clave es que para $v=(v_{ij})\in U_n(A)$, todavía se denota por a $\alpha$ $*$- homomorphism inducida por $\alpha$$M_n(A)$, tenemos $$ \alpha(v)=\pmatrix{\alpha(v_{ij})}=\pmatrix{uv_{ij}u^*}=\mbox{diag}(u,\ldots,u)\,v\,\mbox{diag}(u^*,\ldots,u^*)=u_nvu_n^* $$ donde $u_n$ es la central unitaria de $U_n(A)$ hecha de una constante diagonal de $u$, y cero en otro lugar.

Por lo tanto $$ \alpha_\ast([v])=[\alpha(v)]=[u_nvu_n^*]=[u_n]+[v]+[u_n^*]=[v]+[u_n]+[u_n^*]=[v]. $$ Por lo tanto $\alpha_\ast=K_1(\alpha)$ es la identidad en $K_1(A)$.

Por supuesto, basta con utilizar la propiedad $[vw]=[wv]$ $v,w\in U_n(A)$ conseguir $[u_nvu_n^*]=[u_n^*u_nv]=[v]$. Pero fue una buena oportunidad para recordar que para un unitario $u_n\in U_n(A)$, $-[u_n]=[u_n^*]$.

3) Extensión: más generalmente, para cada aproximadamente interior automorphism de $A$,$K_0(\alpha)=\mbox{id}$$K_1(\alpha)=\mbox{id}$.

Answer 2

Si me puede agregar un poco a la respuesta anterior, $K_1(A)$ es, por definición, el grupo de homotopy clases de unitaries en la unificación $(K \otimes A)^{\sim}$ de su estabilización $K \otimes A$ (reemplace $A$ $A^{\sim}$ en la no-unital caso como julien declaró anteriormente).

Descomposición Polar muestra que cada unitaria en $(K \otimes A)^{\sim}$ es homotópica a una de la forma $u \oplus (1 - 1_{M_n(A)} ) $ donde $u \in M_n(A)$.

También, para cualquier unitario $u$ en una esquina de la $p (K \otimes A)^{\sim} p$ y para cualquier isometría parcial $s$ con $s^*s = p$, $u \oplus (1-p)$ es homotópica a $sus^* \oplus (1-ss^*)$.

Así que cada $K_1$ clase puede ser representado por algunos unitario $u \in M_n(A)$ después de la adición de $1$'s abajo de la diagonal y se puede mover un unitario $u \in M_n(A)$ arriba y abajo de la diagonal sin cambiar su $K_1$-clase. Es inmediato que $K_1$ es abelian e interior-automorfismos descender a la identidad mapa en $K_1$.