Abra las propiedades de los sistemas cuasi-compactos de

Question

Estoy siguiendo Ravi Vakil de Matemáticas 216: Fundamentos de la geometría Algebraica notas, y no es un comentario a raíz de un ejercicio que no entiendo en absoluto, y si alguien pudiera aclararme entonces, eso sería genial.

El ejercicio le pide a uno para demostrar que si $X$ es un quasicompact esquema, cada punto tiene un punto cerrado en su cierre, el cual se desprende de la anterior ejercicio pidiendo a mostrar que $X$ es quasicompact si y sólo si puede ser escrito como una unión finita de afín esquemas. Estas yo estoy bien, así como la siguiente implicación que cada vacía subconjunto cerrado de $X$ contiene un punto cerrado.

Sin embargo, a continuación, las notas, a continuación, ir a afirmar que este será utilizado en la siguiente forma: Si una propiedad $P$ es abierto (es decir, si algún punto de $x$$P$, entonces existe un abierto de vecindad $U$ $x$ de manera tal que todos los puntos en $U$ ha $P$), luego de comprobar que todos los puntos de un quasicompact esquema de ha $P$, a continuación, basta con comprobar sólo el cerrado puntos.

No me parece para ser capaz de ver cómo sigue todo. A mí me parece que todo en los ejercicios es sobre cerrado los puntos en los cierres, y para mostrar el comentario, quiero mostrar que otros de los puntos que están en (todos) abrir barrio(s) cerrado puntos. Estos parecen relativamente distinto a mí - esto está mal?

Estos comentarios/ejercicios en las páginas 139-140 de las notas.

Answer 1

Deje $\eta$ ser un genérico de punto con cierre de $Y = \overline{\{ \eta \}}$, y deje $P$ libre de propiedad. Entonces, el conjunto de todos los puntos de $X$ propiedad $P$ es abierto, por lo que su complemento es cerrado; en particular, si $\eta$ no tiene la propiedad $P$, entonces no hay punto de $Y$ propiedad $P$. (Este es sólo el punto de establecer la topología.)

Ahora, supongamos $X$ es un quasicompact esquema. A continuación, $Y$ debe tener un punto cerrado, así que si todo cerrado puntos de $X$ tienen la propiedad $P$, $\eta$ debe tener la propiedad$P$.

Answer 2

Esto es puramente topológica de la declaración. Supongamos que una propiedad abrir $P$ tiene para todos los puntos cercanos. Deje $\eta$ que no sea un punto cerrado, y deje $x \in \bar{\eta}$ ser un punto de cierre en el cierre (que existe por el ejercicio!). Luego, por supuesto,$x$$P$, y desde $P$ es abierto, existe un abierto vecindario $U$$x$, de modo que todos los puntos de $U$ ha $P$.

Está claro que cualquier barrio de $U$ $x$ debe contener $\eta$. Si $\eta \notin U$, $U^c:=X-U$ es un subconjunto cerrado de $X$ contiene $\eta$. Pero $\eta \in U^c$ implica $\bar{\eta} \subset U^c$, lo cual significa que $x \in \bar{\eta} \subset U^c$, una contradicción ya que el $x \in U$.

Desde $\eta \in U$, $\eta$ propiedad $P$ también. Esperemos que esto le da a usted alguna intuición sobre la extrañeza de no cerrado puntos.

Answer 3

Primera: ¿Está usted seguro de que su argumento acerca de la existencia de cerrado de puntos es la correcta? La razón que pido es que usted dice que es claro que a partir de la escritura $X$ es una unión finita de abiertos cuñados, pero (aunque estoy de acuerdo en que $X$ es cuasi-compacto si y sólo si esto es posible) yo no considero cómo sigue de inmediato de esta. (Los argumentos sé, por ejemplo, este, el uso de la propiedad topológica de cuasi-compacidad de una manera explícita.)

En segundo lugar: Supongamos $U$ es un subconjunto abierto de $X$ que contiene todos los puntos cercanos de $X$. El complemento de $U$ es un subconjunto cerrado de $X$. Puede contener cualquier punto cerrado de $X$? Si no, entonces teniendo en cuenta los hechos que usted dice en su pregunta, puede contener cualquiera de los puntos?