Dejemos que $f$ sea una función definida en el intervalo abierto $(a,b)$ y que $x_0\in(a,b)$ . Supongamos además que $f'(x)$ existe para todos los $x_0\neq x\in(a,b)$ . ¿Es cierta la siguiente afirmación?
Si $\lim\limits_{x\to x_0}f'(x)$ existe, entonces $f'(x_0)$ existe y $\lim\limits_{x\to x_0}f'(x)=f'(x_0)$ .
Gracias.
Un "sí" matizado: Si $f$ es continua en $x_{0}$ y si $\lim\limits_{x \to x_{0}}f'(x) = L$ existe, entonces $f$ es diferenciable en $x_{0}$ y $f'(x_{0}) = L$ .
Cualitativamente, la derivada de un continuo no puede tener una discontinuidad removible. (Si no se asume $f$ es continua, entonces $f$ mismo puede tener una discontinuidad removible o de salto).
La afirmación se desprende del Teorema del Valor Medio: Si $\delta > 0$ y $f'(x_{0} + h)$ se define para $0 < |h| < \delta$ entonces para cada uno de estos $h$ el teorema del valor medio (aplicado a $f$ en el intervalo cerrado con puntos finales $x_{0}$ y $x_{0} + h$ ) dice que hay un $t$ entre $x_{0}$ y $x_{0} + h$ tal que $$ \frac{f(x_{0} + h) - f(x_{0})}{h} = f'(t). $$ Desde $|t - x_{0}| < |h|$ tomando el límite como $h \to 0$ fuerzas $t - x_{0} \to 0$ También, por lo que $$ f'(x_{0}) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_{0} + h) - f(x_{0})}{h} = \lim_{t \to x_{0}} f'(t). $$
(Continuidad de $f$ para invocar el Teorema del Valor Medio).
Este es un dato útil para saber cuando se hacen esas populares preguntas capciosas como: ¿es $f(x)=x^2\sin(x), x \ne 0, f(0)=0$ ¿Diferenciable en todas partes?
Una prueba más fácil, para la respuesta elegida, es utilizar la regla de L'Hopital. Sabemos que $f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ . Ahora bien, si f es continua en $a$ el tenemos un $\frac{0}{0}$ y podemos aplicar la regla de L'Hopital para ver que si el límite de $f(x)$ cuando $x\mapsto a$ existe entonces es igual a $f'(a)$ .
No es necesariamente cierto. Necesitamos $f'$ para ser continua en $x_0$ . En realidad las condiciones que $\lim_{x\to x_0} f'(x)$ y $f'(x_0)$ existen y son iguales entre sí son las condiciones de la función $f'$ para ser continua.
He aquí un contraejemplo: Considere la función:
$$f(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{if } \mbox{$x \le 0$} \\ x, & \mbox{if } \mbox{$x>0$} \end{cases}$$
Obviamente $f$ se define en $\mathbb{R}$ pero la función no es diferenciable en $0$ y $f'$ es discontinuo en $0$ . Así que al elegir $x_0 = 0$ todas las condiciones se cumplen, pero el resultado no, por lo que la implicación es errónea.
En el ejemplo propuesto, $f'$ tiene límites de un lado, pero no tiene un límite de dos lados...?
@AndrewD.Hwang Sí, ambos límites unilaterales existen, pero no son iguales entre sí, por lo tanto el límite bilateral no existe. Al final revisando la gráfica podemos ver que es continua, por lo tanto ambos límites unilaterales existen, pero no es "suave" por lo que esperamos que no sean iguales entre sí.
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La afirmación de su pregunta dice que $f'(x)$ es continua en algún $x_0$ . Ahora debes preguntarte si toda derivada es continua.
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No, esto es más débil que decir $f'$ es continua.