Delimitada por una función lineal la función armónica

Question

Que $u$ sea una función armónica en $\mathbb C$. Supongamos que cada $\epsilon > 0$, hay un % constante $C_\epsilon$que

$$u(z) \leq C_\epsilon + \epsilon |z| .$$

Estoy tratando de mostrar que $u$ es constante. Probado la propiedad de valor medio, así como sustituir el $u$ por una función relacionada, pero no tuvo éxito. ¿Alguien tiene alguna idea?

Answer 1

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que la $u(0)=0$, y esto es suficiente para mostrar que $u\equiv 0$.

Fijemos un arbitrario $\epsilon>0$ primera. Elija $R_0>0$ tal que $C_\epsilon <\epsilon R_0$. A partir de la asunción en $u$ sabemos que para cada $R\ge R_0$, $$\max_{|z|\le R}u(z)\le C_\epsilon+\epsilon\cdot\max_{|z|\le R}|z|<2\epsilon R.\tag{$*$}$$

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Prueba 1(uso de la desigualdad de Harnack) $(*)$ implica que el $2\epsilon R-u(z)$ es positiva y armónica de la función en $|z|<R$. Entonces, por la desigualdad de Harnack, al $R\ge R_0$, $$\frac{R-|z|}{R+|z|}\cdot 2\epsilon R\le 2\epsilon R-u(z)\le\frac{R+|z|}{R-|z|}\cdot 2\epsilon R,\quad \text{ if } |z|<R.$$ Esto es equivalente a decir al $R\ge R_0$, $$-\frac{4\epsilon R|z|}{R-|z|}\le u(z)\le\frac{4\epsilon R|z|}{R+|z|},\quad \text{ if } |z|<R.$$

La fijación de $z$, dejando $R\to\infty$$\epsilon\to 0$, la conclusión de la siguiente manera.

Comentario: Un argumento similar utilizando la desigualdad de Harnack todavía funciona al $u$ es una función armónica en $\mathbb R^n$($n\ge 3$) la satisfacción de la misma condición.

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Prueba 2(usando el lema de Schwarz) Desde $u$ es armónica en $\Bbb C$$u(0)=0$, existe una única función $f=u+iv$ tal que $f(0)=0$. A continuación, basta para mostrar que $f\equiv 0$.

Tenga en cuenta que si $a>0$, la transformación de Möbius $z\mapsto \frac{z}{2a-z}$ mapas de la mitad de avión $\{x+iy\mid x<a\}$ conformemente a la unidad de disco $\Bbb D$, por $(*)$$a=2\epsilon R$$R\ge R_0$, el siguiente mapa $$g:\Bbb D\to \Bbb D,\quad w\mapsto \frac{f(Rw)}{4\epsilon R-f(Rw)}$$ es bien definido y holomorphic; por otra parte, $g(0)=0$. Entonces, por el lema de Schwarz, al$R\ge R_0$$|z|<R$, para $w=\frac{z}{R}\in \Bbb D$, $g(z)\le |z|$, es decir, $$\frac{|f(z)|}{|4\epsilon R-f(z)|} \le \frac{|z|}{R}\Longrightarrow |f(z)|\le |z| \cdot |4\epsilon -\frac{f(z)}{R}|, \quad \text{ if } |z|<R.$$ La fijación de $z$, dejando $R\to\infty$$\epsilon\to 0$, la conclusión de la siguiente manera.

Answer 2

Ya que $u$ es armónica en todo el plano y está delimitado linealmente, sabemos por el teorema de Liouville que $u$ es un polinomio armónico de orden menor o igual a 1. El coeficiente del término lineal debe ser 0, ya que si se tratara de cualquier otra cosa, entonces usted tendría una contradicción $\epsilon$ suficientemente pequeño.