Utilizamos la ecuación de Scherrer para calcular el tamaño del cristal de una partícula:
$$d = \frac{B}{\cos{}}$$
Pero, ¿qué theta debemos tomar del patrón XRD para este cálculo?
Por ejemplo, el siguiente gráfico muestra el patrón de difracción del nano (arriba) y del silicio a granel (abajo) y tiene dos picos de difracción en $2 \approx 69^\circ$ y $2 \approx 76^\circ$ . ¿Qué theta debemos tomar para calcular el tamaño cristalino del nano silicio y por qué?
La fórmula de Scherrer es una ecuación sencilla para el caso simple de un pico único ensanchado sólo debido al tamaño de las partículas cristalinas. La aplicación de la fórmula a otros casos más complejos sólo da una estimación. Citando Wikipedia :
Es importante tener en cuenta que la fórmula de Scherrer proporciona un límite inferior para el tamaño de las partículas . La razón de esto es que una variedad de factores puede contribuir a la anchura de un pico de difracción; además del tamaño del cristalito, los más importantes suelen ser la deformación no homogénea y los efectos instrumentales. Si todas estas otras contribuciones a la anchura del pico fueran nulas, entonces la anchura del pico estaría determinada únicamente por el tamaño del cristalito y se aplicaría la fórmula de Scherrer. Si las otras contribuciones a la anchura son distintas de cero, entonces el tamaño del cristalito puede ser mayor que el predicho por la fórmula de Scherrer, y la anchura del pico "extra" proviene de los otros factores.
La fórmula de Scherrer da una estimación un orden de magnitud. En este caso, calcule los tamaños de las partículas para los dos picos, y deberían estar cerca. Las diferencias están cubiertas por la gran incertidumbre de su valor resultante.
Puedes usar una simple manipulación matemática para ajustar la ecuación de Scherrer para tomar los datos de un gráfico de DRX directamente...
$$d = \frac{B \lambda}{\beta \cdot cos( \frac{2\theta}{2}))}$$
...donde $2\theta$ es el ángulo de bragg.
Para el conjunto de patrones XRD inferior, tendrás que deconvolucionar uno de los picos. Si sabes usar python, la forma más fácil de hacerlo es que puedes usar un análisis de regresión por mínimos cuadrados para ajustar un conjunto de funciones pseudo-vogit a los datos de DRX y luego usar una de las funciones para determinar el FWHM y $2\theta$ valor, donde el pseudovogit es...
$$PV(x,A,\mu,\sigma,\alpha) = \frac{(1-\alpha)A}{\frac{\sigma}{2\cdot ln(2)}\cdot\sqrt{2\pi}}\cdot e^{\frac{-1}{2}\cdot \frac{(x-\mu)^2}{(\frac{\sigma}{2 \cdot ln(2)})^2}}+\frac{\alpha A}{\pi}\cdot[\frac{\sigma}{(x-\mu)^2 + \sigma^2}]$$
...y la condición de minimización es...
$$PV_{sum} = \sum_{i=1}^{n_{peaks}} PV_i(x_i,A_i,\mu_i,\sigma_i,\alpha_i) $$
...encontrar la condición que...
$$(data_i - PV_{sum}(data_i))^2 \rightarrow 0 $$
que es algo que un ordenador puede hacer con bastante facilidad. Esto dará como resultado el conjunto de parámetros que se ajustan $PV_{sum}$ a todo el conjunto de datos - sólo hay que utilizar una de las condiciones de PV para calcular FWHM y $2\theta$ para determinar el tamaño de las partículas.
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Para los materiales policristalinos, el error instrumental puede eliminarse restando la anchura del pico de los materiales policristalinos por el ensanchamiento del pico de los monocristales en la misma máquina.
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Debe tomar el theta para el pico para el cual midió el ancho del pico. En un caso ideal, las anchuras de los picos deberían depender del ángulo de Bragg (es decir, de la resolución). O puedes refinar beta para todo el conjunto de datos (respuesta de Michael Green) teniendo en cuenta que esto podría ser excesivo dadas las aproximaciones y advertencias (respuesta de F'x).