¿Cuál es el conjunto de $g^{-1}([-1,1])$?

Question

Deje $g(x,y)=xy$$xy\in \mathbb R$.

¿Qué es $g^{-1}([-1,1])$?

Sé que $g^{-1}([-1,1])=\{{(x,y) \,:\ g(x,y)\in [-1,1]}\}$.

Pero encontrar todos los valores de $(x,y)$ es algo confuso.

Answer 1

Es confuso. La pregunta es qué hacer con este set: $$ \{ (x,y) \mid f(x,y) \in [-1,1]\} $$ Lo que queremos hacer es describir lo que esta establecido. Así que puede sustituir a $g(x,y)$ con su definición. A continuación, queremos describir todos los puntos de $(x,y)$ tal que $$ xy \en [-1,1] $$ es decir, $-1 \le xy \le 1$.

Usted puede parar aquí: "es el conjunto de puntos de $(x,y)$ tal que $-1 \le xy \le 1$". Pero, ellos probablemente quieren que dibuje este conjunto. Así se puede dibujar el conjunto por el primer dibujo de los puntos de $(x,y)$ donde $xy = 1$ e donde:$xy = -1$. Entonces el conjunto de puntos de $(x,y)$ va a tener estas líneas como un límite.

Así podemos dibujar $y = \frac{1}{x}$, y, a continuación, dibuje $y = \frac{-1}{x}$, y luego tenemos a la sombra de los puntos que están entre los dos. Pruebe algunos de los puntos y verás que nada en el medio, tal como $(0,0)$, $(0,1)$, $(-1,0)$, $(1/2, -1/2)$ es parte del set donde $-1 \le xy \le 1$.

Answer 2

Gráfico de $y=\frac1x $ $y=-\frac1x $ y, a continuación, la sombra en la ordenación de los cuatro frentes de la región en el medio. ..