Demostrar que $(H,\circ)$ es un subgrupo del grupo de $(G, \circ)$

Question

Pregunta: Vamos a $(G, \circ)$ ser un grupo y $H$ ser un no-vacío es subconjunto de a $G$. Una relación $\rho$ definido en $G$ por $$a\,\rho\ b\quad \text{if and only if}\quad a\circ b^{-1}\in H$$ for $a,b\in G$, is an equivalence relation on $G$. Prove that $(H,\circ)$ is a subgroup of $(G \circ)$.

Progreso: Para mostrar $(H, \circ)$ es un sub-grupo es suficiente para mostrar la $a,b\in H\implies a\circ b^{-1}\in H$. ¿Cómo puedo mostrar esto?

Answer 1

Primero mostramos que la $e\in H$. Por la reflexividad de $\rho$, $e\rho e$, y, por lo tanto, $e=e\circ e^{-1}\in H$.

A continuación, se muestra que el $a,b\in H\implies a\circ b^{-1}\in H$. Suponga $a, b\in H$. A continuación, $a\circ e^{-1}= a\in H$$b\circ e^{-1}=b\in H$. Por supuesto, se deduce que el$a\rho e$$b\rho e$. Desde $\rho$ es simétrica, tenemos $e\rho b$, y por lo tanto, por transitividad, $a\rho b$, así. Por lo tanto, $a\circ b^{-1}\in H$. Esto es lo que se requiere para demostrar que $H$ es un subgrupo de $G$.

Answer 2

Usted probablemente ya han visto que si $H$ es un subgrupo, a continuación, $\rho$ es una relación de equivalencia. La prueba utiliza las propiedades de los subgrupos:

1. $e\in H$
2. si $a\in H$, $a^{-1}\in H$
3. si $a,b\in H$, $ab\in H$

La relación $\rho$ es reflexiva: en efecto, si $a\in G$, $aa^{-1}=e\in H$ 1 $a\mathrel{\rho}a$

La relación $\rho$ es simétrica: en efecto, si $a\mathrel{\rho}b$,$ab^{-1}\in H$, lo $(ab^{-1})^{-1}=ba^{-1}\in H$, durante 2; por lo tanto,$b\mathrel{\rho}a$.

La relación $\rho$ es transitiva: de hecho, si $a\mathrel{\rho}b$$b\mathrel{\rho}c$,$ab^{-1}\in H$$bc^{-1}\in H$, lo $(ab^{-1})(bc^{-1})=ac^{-1}\in H$ 3; por lo tanto,$a\mathrel{\rho}c$.

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A la inversa de la prueba sigue un patrón muy similar.

Desde $\rho$ es reflexiva, tenemos $e\mathrel{\rho}e$, $ee^{-1}=e\in H$.

Si $a\in H$,$ae^{-1}=a\in H$; por lo tanto, $a\mathrel{\rho}e$ y, ya que la relación es simétrica, también se $e\mathrel{\rho}a$, lo que significa que $ea^{-1}=a^{-1}\in H$.

Si $a,b\in H$, $a=(ab)b^{-1}\in H$ y, por tanto,$ab\mathrel{\rho}b$; por otra parte $b\mathrel{\rho}e$, lo $ab\mathrel{\rho}e$ por transitividad; por lo tanto $ab=abe^{-1}\in H$.