Demostrar que $\int_{D}\nabla u\cdot\nabla vdx=\int_{D}uv\,dx=0$

Question

Deje $D$ el de apertura subconjunto acotado en $\mathbb{R}^{n}$ con suave límite, $\alpha$ $\beta$ ser diferente no nulo números reales, y $u$ $v$ $W_0^{1,2}(D)\setminus\left\{ 0\right\} $ tal que $\Delta u=\alpha u$ $\Delta v=\beta v$ en soluciones débiles sentido. Demostrar que $$\int_{D}\nabla u\cdot\nabla v\,dx=\int_{D}uv\,dx=0$$

No entiendo lo de "en soluciones débiles sentido". ¿Alguien puede decirme qué significa para que yo pueda resolver el problema.

Gracias de antemano.

Answer 1

$\Delta u = \alpha u$ en el sentido de soluciones débiles quiere decir, que para cada una de las $w \in W^{1,2}_0(D)$ hemos $$ - \int_D \nabla u \cdot \nabla w \, dx = \alpha \int_D uw\, dx $$ (lo mismo para$v$$\beta$).

Answer 2

Continuar martini 's sugerencias, voy a resolver este problema.

$\Delta u = \alpha u$ en el sentido de soluciones débiles quiere decir, que para cada una de las $w \in W^{1,2}_0(D)$ hemos $$ - \int_D \nabla u \cdot \nabla w \, dx = \alpha \int_D uw\, dx \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (1)$$ $\Delta v = \beta v$ en el sentido de soluciones débiles quiere decir, que para cada una de las $w \in W^{1,2}_0(D)$ hemos $$ - \int_D \nabla v \cdot \nabla w \, dx = \beta \int_D vw\, dx \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (2)$$

Elija $w=v$ $(1)$ $w=u$ $(2)$ hemos $$ - \int_D \nabla u \cdot \nabla v \, dx = \alpha \int_D uv\, dx$$ y

$$ - \int_D \nabla u \cdot \nabla v \, dx = \beta \int_D uv\, dx$$ Pero $\alpha \neq \beta$, por lo que se hacen.

Espero no tener errores.