Una pregunta sobre compacta abelian grupos

Question

Después de aprender acerca de la dualidad entre compacta Abelian grupos y discreto Abelian grupos, me decidí a buscar en los ejercicios a partir de diversas fuentes.

Una pregunta que se destacó fue la siguiente:

Si $G$ es localmente compacto grupo Abelian con $H$ $K$ dos subgrupos cerrados de $G$, lo anterior se sigue que el subgrupo $H + K$ está cerrado?

Además, es este subgrupo cerrado si $G$ es un compacto grupo Abelian?

Estoy bastante seguro de que esto tiene algo que ver con la dualidad mencionada anteriormente. Estoy teniendo problemas para pensar de contraejemplos.

Answer 1

Para la primera parte, $\Bbb R$ tiene muchos pares de subgrupos discretos $H$ $K$ tal que $H+K$ es denso en $\Bbb R$.

Answer 2

Para la segunda parte. Considerar el mapa de $+:G\times G \to G$ $+(g,h)=g+h$ y usar el hecho de que la imagen de un conjunto compacto es compacto.