la expansión en series de Taylor alrededor del origen en la región de $|x| < 1$ para la función dada

Question

Anote la expansión en series de Taylor alrededor del origen en la región de $|x| < 1$ para la función $$f(x)=x\tan^{-1}x-\frac{1}{2}\log(1+x^2)$$

---

No puedo encontrar la fórmula general para $f^{(n)}(x)$.un puedo recibir ayuda?

Answer 1

Sugerencia:

1. Anote el estándar de expansión de $\arctan x$. Multiplicar término por término por $x$.

2. Anote el estándar de expansión de $\ln(1+t)$. Reemplace $t$ en todas partes por $x^2$. Multiplicar término por término por $-\frac{1}{2}$.

3. Sume los resultados de (1) y (2), la recogida de los coeficientes de poderes de $x$ juntos.

Nota: Si no conoce el poder de expansión de la serie de $\arctan x$, usted probablemente puede escribir el poder de expansión de la serie de $\frac{1}{1-u}$, y, por tanto, de $\frac{1}{1+t^2}$. A continuación, utilice el hecho de que $$\arctan x=\int_0^x \frac{dt}{1+t^2}\,dt,$$ la integración de la serie de $\frac{1}{1+t^2}$ término por término.

Si usted no sabe el poder de expansión de la serie de $\ln(1+t)$, integrar el poder de expansión de la serie de $\frac{1}{1+u}$ plazo por el término de$0$$t$.

Answer 2

$f(u)=\frac{1}{1-u}\Rightarrow f'(x)=\dfrac{(-1)(-1)}{(1-u)^2}=\dfrac{1}{(1-u)^2}$

$f''(u)=\dfrac{1.(-2).(-1)}{(1-u)^3}=\dfrac{1.2}{(1-u)^3}$

$f'''(u)=\dfrac{1.2.(-3)(-1)}{(1-u)^4}=\dfrac{1.2.3}{(1-u)^4}$

Más en general ; $f^{(n)}(u)=\dfrac{n!}{(1-u)^{n+1}}$

Serie de Taylor para $f(u)$ $$\sum_{n=0}^{\infty} f(u)=\sum_{n=0}^{\infty}u^n$$

Para $u=-t^2$ tenemos $$\sum_{n=0}^{\infty} f(t)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n(t)^{2n}$$

$$\arctan x=\int_0^x \frac{dt}{1+t^2}$$ $$=\int_0^x \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n(t)^{2n}\,dt=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\int_0^x (t)^{2n}dt=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$$

Por eso, $$\arctan x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$$

$$x\arctan x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+2}}{2n+1}$$

$f(u)=\dfrac{1}{1+u}\Rightarrow f'(u)=\dfrac{-1}{(1+u)^2}$

$f''(u)=\dfrac{(-1)(-2)}{(1+u)^3}=\frac{1.2}{(1+u)^3}$

$f'''(u)=\dfrac{1.2.(-3)}{(1+u)^4}=\frac{(-1).1.2.3}{(1+u)^4}$

Más generalmente , $f^{(n)}(u)=\frac{(-1)^nn!}{(1+u)^{n+1}}$

Serie de Taylor para $f(u)$ $$\sum_{n=0}^{\infty} f(u)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n u^n$$

$$\log (1+x)=\int_0^x \frac{du}{1+u}$$

$$=\int_0^x \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n u^n du=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{n+1}}{n+1}$$

Tenemos $$\log (1+x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{n+1}}{n+1}\Rightarrow \log (1+x^2)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{2n+2}}{n+1}$$ $$\Rightarrow \frac{1}{2}\log (1+x^2)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{2n+2}}{2(n+1)}$$

$$\Rightarrow -\frac{1}{2}\log (1+x^2)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{x^{2n+2}}{2(n+1)}$$

Tenemos : $$x\arctan x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+2}}{2n+1}; -\frac{1}{2}\log (1+x^2)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{x^{2n+2}}{2(n+1)}$$

$$x\arctan x-\frac{1}{2}\log (1+x^2)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+2}}{2n+1}+\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{x^{2n+2}}{2(n+1)}$$

$$=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n(2n+2)+(2n+1)(-1)^{n+1}}{(2n+1)2(n+1)}x^{2n+2}$$

$$=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)2(n+1)}x^{2n+2}$$

$$=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)2(n+1)}x^{2(n+1)}$$

$$=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2n(2n-1)}x^{2n}$$