Determine si la siguiente secuencia aumenta o disminuye$\frac{n^2+2n+1}{3n^2+n}$

Question

Determine si la siguiente secuencia está aumentando o disminuyendo:

ps

No estoy seguro de si mi solución es correcta:

$$\frac{n^2+2n+1}{3n^2+n}$ $ Probemos que$$\frac{n^2+2n+1}{3n^2+n}=\frac{n(n+2)+1}{n(3n+1)}=\frac{n+2}{3n+1}+\frac{1}{n(3n+1)}.$ es una secuencia decreciente.

ps

Entonces$\frac{n+2}{3n+1}$ es una secuencia decreciente y sabemos que$$a_n>a_{n+1} \Leftrightarrow \frac{n+2}{3n+1}>\frac{n+3}{3n+4}\Leftrightarrow(n+2)(3n+4)>(n+3)(3n+1)\Leftrightarrow3n^2+10n+8>3n^2+10n+3\Leftrightarrow 8>3$ también está disminuyendo, por lo que nuestra secuencia dada es una secuencia decreciente como una suma de$\frac{n+2}{3n+1}$ de secuencias decrecientes.

Answer 1

Deje$$a_n=\frac{n^2+2n+1}{3n^2+n}$ $ Then$$a_{n+1}-a_n=\frac{-5n^2-11n-4}{(3n^2+7n+4)(3n^2+n)}<0$ $

Answer 2

Tu solución se ve bien.

Otro enfoque podría ser:

ps

$$a_n=\frac{3n^2+n}{(n+1)^2}=\frac{3(n+1)^2-5n-3}{(n+1)^2}=3-\left[\frac{5n}{(n+1)^2}+\frac{3}{(n+1)^2}\right]=3-\left[\frac{5}{n+2+\frac{1}{n}}+\frac{3}{(n+1)^2}\right]$ está aumentando, entonces ¿qué podemos concluir sobre$a_n$?

Answer 3

SUGERENCIA Encuentre la diferencia (an +1 - an) y estudie el signo de esta diferencia. Si es positivo, la secuencia aumenta, de lo contrario, está disminuyendo.

Answer 4

Tu solución está bien. Aquí hay otro camino, quizás más eficiente.

Comenzamos con la descomposición en el OP expresada por

ps

Entonces, simplemente notamos que el primer término en el lado derecho de$$\frac{n^2+2n+1}{3n^2+n}=\frac{n+2}{3n+1}+\frac{1}{n(3n+1)} \tag 1$ se puede escribir como

ps

de lo cual vemos por inspección que$(1)$ está disminuyendo. Y hemos terminado!

Answer 5

Después de dividir la fracción usando fracciones parciales , vemos que$\frac3n$ es más grande que$\frac4{3n+1}$, por lo que damos$\frac4{3n}$ de$\frac3n$ a$-\frac4{3n+1}$ para que sea positivo , pero disminuyendo. $$ \begin{align} \frac{n^2+2n+1}{3n^2+n} &=\frac13\left(1+\frac{5n+3}{3n^2+n}\right)\\ &=\frac13\left(1-\frac4{3n+1}+\frac3n\right)\\ &=\frac13\left(1-\frac4{3n+1}+\frac4{3n}+\frac5{3n}\right)\\ &=\frac13\left(1+\frac4{3n(3n+1)}+\frac5{3n}\right)\tag{1} \end {align} $$ Para$n\gt0$, cada término no constante en$(1)$ está disminuyendo.