¿Es la cardinalidad de$\mathbb{Z^R}$ =$\mathbb{R^Z}$?

Question

Anteriormente en esta pregunta, hemos encontrado que $\mathbb{R^Z}$ es incontable y su conjunto múltiple de componentes, que se denota por

$$K = \{ (..., 0, 0, w, 0, 0, ... ) : w \in \mathbb{R} \}$$

donde para cada número real $x$ hay una secuencia $(k_m)$ $K$ $k_0 = w$ $k_j = 0$ todos los $j \ne 0$.

O

$$A = \{ Y_j : j \in \mathbb{Z} \}$$

donde $$Y_j = \{ (..., 0, x_j, 0, 0, ... ) : x_j \in \mathbb{R} \}$$

también es incontable y un sub(multi), el conjunto de de $\mathbb{R^Z}$

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Ahora me estoy preguntando acerca de la cardinalidad de a $\mathbb{Z^R}$ $\mathbb{R^Z}$

Usando mi half baked comprensión del cardenal exponenciación y la multiplicación, (suponiendo que el Axioma de Elección), aprendidas a partir de aquí, y también algunas de las propiedades de cardinalidad aquí, yo uso las siguientes fórmulas

1. Si 2 ≤ κ y 1 ≤ µ y al menos uno de ellos es infinito, entonces: $$\max (κ, 2^μ) ≤ κ^μ ≤ \max (2^κ, 2^μ)$$
2. Si κ o µ es infinito y ambos no son cero, entonces $$\kappa\cdot\mu=\max\left\{\kappa,\mu\right\}$$
3. $$|\mathbb{R}|=2^{\aleph_0}>\aleph_0=|\mathbb{N}|=|\mathbb{Z}|$$

y obtener

$$\max (|\mathbb{Z}|, |2^\mathbb{R}|) ≤ |\mathbb{Z^R}| ≤ \max (|2^\mathbb{Z}|, |2^\mathbb{R}|)$$ $$\max (|\mathbb{R}|, |2^\mathbb{Z}|) ≤ |\mathbb{R^Z}| ≤ \max (|2^\mathbb{R}|, |2^\mathbb{Z}|)$$ Simplificar el uso de las fórmulas $$|2^\mathbb{R}| ≤ |\mathbb{Z^R}| ≤ |2^\mathbb{R}|$$ $$\max (|\mathbb{R}|, |2^\mathbb{Z}|) ≤ |\mathbb{R^Z}| ≤ |2^\mathbb{R}|$$ $\hspace{1mm}$ $$|\mathbb{Z^R}| = |2^\mathbb{R}|=2^{2^{\aleph_0}}$$ $$\max (2^{\aleph_0}, 2^{\aleph_0}) ≤ |\mathbb{R^Z}| ≤ 2^{2^{\aleph_0}}$$ $\hspace{1mm}$ $$|\mathbb{Z^R}| = |2^\mathbb{R}|=2^{2^{\aleph_0}}$$ $$2^{\aleph_0} ≤ |\mathbb{R^Z}| ≤ 2^{2^{\aleph_0}}$$ Y, finalmente, $$|\mathbb{R}| < |\mathbb{R^Z}| ≤ |\mathbb{Z^R}|$$

Pero entonces ¿cuáles son los métodos que debe utilizar para buscar un bijective función (si es que existe) que elementos de mapas de $\mathbb{Z^R}$ $\mathbb{Z^R}$y viceversa, por lo que puedo trabajar si $|\mathbb{R^Z}| < |\mathbb{Z^R}|$ o $|\mathbb{R^Z}| = |\mathbb{Z^R}|$?

Answer 1

No. Tenemos$$|\mathbb Z^{\mathbb R}|\ge |2^{\mathbb R}| > |\mathbb R| $ $ pero $$ | \ mathbb R ^ {\ mathbb Z} | = | (2 ^ {\ mathbb Z}) ^ {\ mathbb Z} | = | 2 ^ {(\ mathbb Z \ times \ mathbb Z)} | = | 2 ^ {\ mathbb Z} | = | \ mathbb R | $$

Answer 2

Como Henning, explica, son diferentes. Qué sabe usted acerca de la beth números? Tenemos:

La proposición de 0. $$|\mathbb{Z}| = \beth_0, \qquad |\mathbb{R}| = \beth_1$$

A partir de esto, podemos responder a su pregunta:

La reclamación.

$$|\mathbb{R}^\mathbb{Z}| = \beth_1, \qquad |\mathbb{Z}^\mathbb{R}| = \beth_2$$

Desde el beth números son estrictamente creciente familia de los números cardinales (esto se sigue inmediatamente a partir del teorema de Cantor), la anterior aseveración implica que

$$|\mathbb{R}^\mathbb{Z}| < |\mathbb{Z}^\mathbb{R}|,$$

así que son diferentes.

Vamos a empezar probando $|\mathbb{R}^\mathbb{Z}| = \beth_1$. Esencialmente acabamos de copiar Henning prueba, en notación diferente:

$$|\mathbb{R}^\mathbb{Z}| = \beth_1^{\beth_0} = (2^{\beth_0})^{\beth_0} = 2^{\beth_0 \cdot \beth_0} = 2^{\beth_0} = \beth_1$$

Tanto por eso! Demostrando que el segundo es sólo un poco más complicado. Estamos tratando de simplificar la expresión:

$$\beth_0^{\beth_1}$$

La intuición es que desde $\beth_0$ es bastante pequeña en comparación con $\beth_1$, por lo tanto elevar $\beth_0$ a la potencia de $\beth_1$ da el mismo resultado como elevar $2$ a la potencia de $\beth_1$. De forma más precisa, se utiliza el siguiente teorema acerca de los números cardinales.

Proposición 1. Si $2 \leq \kappa \leq 2^\nu,$$\kappa^\nu = 2^\nu$. (Suponiendo que $\nu$ es infinito.)

Por lo tanto, ya $2 \leq \beth_0 \leq 2^{\beth_1}$ (e $\beth_1$ infinito) podemos deducir que $\beth_0^{\beth_1} = 2^{\beth_1}$, lo que implica que: $$\beth_0^{\beth_1} = \beth_2.$$

Ejercicio. Demostrar la Proposición 1, utilizando sólo los principios básicos del cardenal aritmética. (No es difícil!)