Encontrar la longitud de una curva?

Question

Con la información dada:

ps

Debo encontrar la longitud exacta de la curva.

Uso esta fórmula para encontrarla:$$x=\frac{y^4}{8}+\frac{1}{4y^2}\,,\ \ 1 \le y \le 2$ $

Entonces, por supuesto, debería encontrar lo que 1 + (dx / dy) ^ 2 es.

Esto es lo que conseguí:

ps

Asi que . . .

ps

No lo sé ... Me parece muy original. ¿Debería hacer una sustitución$$\sqrt{1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^2}\ dy $? Me gusta $$\frac{y^6 -y^{-6}+2}{4} $?

Answer 1

Hubo un pequeño error al cuadrar, debería tener$$\frac{y^6+2+y^{-6}}{4}\tag{1}$ $ dentro de la raíz cuadrada. Y la raíz cuadrada de (1) es muy buena, en nuestro intervalo es$$\frac{y^3+y^{-3}}{2}.$ $

Observación: muchos ejercicios de longitud de arco, incluido este, son más bien artificiales. Los coeficientes fueron cuidadosamente elegidos para simplificar lo que estamos integrando "mágicamente".

Answer 2

Observe que $$ \ frac {dx} {dy} = \ frac {1} {2} \ left (y ^ {3} -y ^ {- 3} \ right), $$ por lo tanto $$ 1+ \ left ( \ frac {dx} {dy} \ right) ^ 2 = \ frac {1} {2} \ left (y ^ {3} + y ^ {- 3} \ right) ^ 2 $$ y por lo tanto $$ \ sqrt {1+ \ left (\ fract {dx} {dy} \ right) ^ 2} \, dy = \ int_ {1} ^ {2} \ frac {(y ^ 3 + y ^ {- 3}) \, dy} {2}. $$