¿Existe un significado claro e intuitivo para los vectores propios y los valores propios de una matriz de densidad?

Question

1. ¿Existe un significado claro e intuitivo para los vectores propios y los valores propios de una matriz de densidad?

2. ¿Una matriz de densidad siempre tiene una base de autovectores?

Answer 1

En general, la densidad de la matriz de un sistema dado puede ser escrita en la forma $$ \rho = \sum_i p_i |\phi_i\rangle\langle\phi_i|, \tag 1 $$ representa, entre otras cosas, un probabilística de la mezcla en la que el estado puro $|\phi_i\rangle$ es preparado con una probabilidad de $p_i$, pero esta descomposición no es generalmente único. El ejemplo más claro de esto es el máximo estado de mezcla, por ejemplo, en un sistema de dos niveles con base ortonormales $\{|0⟩,|1⟩\}$, $$ \rho = \frac12\bigg[|0⟩⟨0|+|1⟩⟨1|\bigg], $$ que tiene exactamente la misma forma en cualquier ortonormales base para el espacio.

Generalmente hablando, sin embargo, los autovalores y autovectores de una matriz de densidad de $\rho$ proporcionar un conjunto de estados y pesos tales que $\rho$ puede ser escrito como en $(1)$ -, pero con la garantía de que el $|\phi_i⟩$ son ortogonales.

Esto no únicamente especificar los estados en cuestión, porque si algún autovalor $p_i$ es degenerado, habrá entonces una de dos dimensiones (o más grande) el subespacio en el que cualquier ortonormales base es igualmente válido, pero que tipo de undefinedness es sólo una parte intrínseca de la estructura.

Answer 2

La densidad de operador se define como

$$\rho = \sum_{i=1}^N p_i |X_i\rangle\langle X_i|$$

para un conjunto de $N$ estados $|X_i\rangle$ que ocurren con una probabilidad de $p_i$. Estos estados forman una base ortonormales para garantizar la normalización de la condición de $Tr(\rho)=1$.

Podemos ver de esta definición que los valores propios son las probabilidades de $p_i$ que son los números reales; el operador asigna simplemente la probabilidad de que algún estado puro (que no está en una superposición con otros estados) sin necesidad de cambiar este estado. Por lo tanto, sabemos de álgebra lineal que si los autovalores son reales, entonces la matriz de densidad debe ser hermitean.

Otra forma de ver hermiticity es la comprobación de la $\langle b|\rho = (\rho|b\rangle)^*$ para cualquier estado $|b\rangle$.

De hermiticity se deduce que los autovalores y autovectores existe (teorema espectral).