Optimización basada en derivados parciales

Question

Quiero maximizar $f(a,b,c)$ sobre las variables $a,b,c$, tal que

1) $0\leq a\leq K$,

2) $0\leq b\leq K$,

3) $0\leq c \leq K$

donde $K$ es una constante.

El $f(a,b,c)$ es alguna función racional (de 2º orden polinomio dividido por 1 de la orden de polinomio en $a,b,c$).

La observación es que $\frac{\partial f(a,b,c)}{\partial a} > 0$,$\frac{\partial f(a,b,c)}{\partial b} > 0$, para el dominio. Ambos de estos derivados son continuos, lisos, y bien el comportamiento de ese dominio.

Me estoy preguntando para resolver este problema de maximización, estoy seguro simplemente poner $a=K, b=K$, y simplificar a:

$Maixmize$ $f(a=K, b=K, c)$ tal que $0\leq c \leq K$

Es esto correcto?? En este caso, esta sería una sola variable problema de optimización.

Answer 1

Respuesta corta: sí

Respuesta larga: la optimización sobre$a,b,c$ se puede desacoplar como $$ \ max_ {0 \ le c \ le K} \ max_ {0 \ le b \ le K} \ max_ {0 \ le a \ le K} f (a, b, c) $$ donde la maximización interna sobre$a$ se realiza para un% fijo$b,c$, etc. De su primera condición derivativa, si se cumple para todos$b,c$ en el intervalo, se deduce que el máximo se alcanza en$a=K$ para todos$b,c$. Del mismo modo para$b$ (si la derivada parcial es positiva para todos$c$ en el intervalo y$a=K$).