Calcula la longitud de la curva.

Question

$L_1, \ L_2,...,L_{12}$ son doce líneas que pasan por origo con $30^{\text{o}}$ como se muestra en la figura. La longitud de $OP_1$ es igual a $1$ . Como se muestra en la figura, se puede construir una espiral infinita dibujando las normales de la línea siguiente a la anterior. Si esta espiral debe dar la vuelta al origo un número infinito de veces, ¿cuál es la longitud total de esta curva espiral?

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Creo que he resuelto este problema, pero mi libro no tiene página de respuestas, así que necesito que alguien compruebe mi trabajo. Esto es lo que hice:

Me he dado cuenta de que

\begin{array}{lcl} P_1P_2 & = & OP_1\sin{30} \\ P_2P_3 & = & OP_2\sin{30} =OP_1\cos{30}\sin{30} \\ P_3P_4 & = & OP_2\cos{30}\sin{30}=OP_1\cos^2{30}\sin{30} \\ & \vdots & \\ P_{n+1}P_{n+2} & = & \cos^{n}{30}\sin{30}. \end{array}

Así, la longitud total de la curva viene dada por la suma geométrica $$\sum_{k=1}^{\infty}\cos^k{30}\sin{30}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^k=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2}\frac{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}= \frac{\sqrt{3}}{4-2\sqrt{3}}\approx3.232.$$

Preguntas:

1. ¿Es correcto lo anterior?
2. ¿Por qué obtengo una respuesta diferente cuando utilizo en su lugar $P_{n}P_{n+1} = \cos^{n-1}{30}\sin{30}?$ A continuación, obtengo

$$\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^k\left(\frac{4}{\sqrt{3}}\right)=\frac{2}{2-\sqrt{3}}\approx7.465.$$

Nota: No quiero una solución alternativa de fance show-off, sólo quiero saber cómo puedo mejorar mi método.

Answer 1

1. Su respuesta original es incorrecta, ya que debería tomar la suma de $k=0$ hasta el infinito. Una forma fácil de convencerse de esto es que su suma debe incluir el término $P_1P_2=\sin(30)$ por lo que debemos incluir el $k=0$ plazo de $\cos(30)^k \sin(30)$ . Haciendo esto, evaluamos de nuevo su límite como $$\sum_{\color{red}{k=0}}^{\infty}\cos^k(30)\sin(30)=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2}\sum_{\color{red}{k=0}}^{n}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^k=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2}\frac{\color{red}{1-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n+1}}}{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}= \frac{1}{2-\sqrt3}=2+\sqrt3\approx3.732$$ Fíjate que aquí te has equivocado con el signo de la suma geométrica, que he resaltado en rojo. Has cometido otro error de signo que lo compensa, pero es mejor tener la expresión correcta en cada paso.

2. Ahora bien, cuando se utiliza $P_nP_{n+1}$ como $\cos^{n-1}(30)\sin(30)$ , sí que partimos de $k=1$ en nuestra suma ya que, de nuevo, debemos incluir el término $P_1P_2=\sin(30)$ . Su problema aquí es que en su resumen debería haber utilizado $\frac{2}{\sqrt{3}}$ en lugar de $\frac{4}{\sqrt{3}}$ pero como no da una explicación de por qué eligió $4$ No puedo explicar por qué se equivoca.

Answer 2

A medida que reducimos $30^{\circ}$ intervalo a cero, la longitud de la curva, la espiral logarítmica $$ r= OP_1 e ^{-\theta/\sqrt3} $$ está acotado a un límite finito evaluado por la integral definida $$ OP_1 ( 4/\sqrt3)$$ al pasar al centro desde $1$ a $n.$