Aproximadamente cerca de una solución realmente limpia a la Pregunta 6 de la Olimpiada de Matemáticas de 1988

Question

Recientemente me encontré con el "infame" de la Pregunta 6, que después de ver este video de youtube por Numberphile. Sólo para refrescar la memoria de todos, aquí está:

Deje $a$ $b$ ser enteros positivos tales que a $ab + 1$ divide $a^2 + b^2$. Mostrar que
$$\frac{a^2+b^2}{ab+1}$$ es el cuadrado de un entero.

Ser siempre optimista, me tomó un bolígrafo y papel y llegue a una solución muy sencilla y en menos de 30 minutos. Con todo esto hoo-ja acerca de este problema, supuse que mi solución es, probablemente, mal, así que me decidí a subir aquí. Tan pronto como empecé a escribir de una manera más ordenada, me di cuenta que tengo que falta un paso :(
Todavía creo que este enfoque es muy elegante (mucho más que los Vietta saltos que son, básicamente, un Deux Ex Machina de la solución de la omi). Estoy esperando que alguien aquí se puede llenar en la pieza que falta?

Mi prueba:
Deje $c$ será el cociente que resulta de la división: $$\frac{a^2+b^2}{ab+1}=c$$ Mover el denominador de la RHS, se obtiene: $$a^2+b^2=abc+c$$ Utilizando el teorema fundamental de la aritmética nos escribe cada término en la representación canónica - como un único producto de potencias de números primos, donde ${p_i}$ son los números primos: $$\left(\displaystyle\prod_{i=1}^{\infty} p_i^{a_i}\right)^2 +\left(\displaystyle\prod_{i=1}^{\infty} p_i^{b_i}\right)^2= \displaystyle\prod_{i=1}^{\infty} p_i^{a_i}\displaystyle\prod_{i=1}^{\infty} p_i^{b_i}\displaystyle\prod_{i=1}^{\infty} p_i^{c_i}+\displaystyle\prod_{i=1}^{\infty} p_i^{c_i}$$ De ello se sigue que: $$\displaystyle\prod_{i=1}^{\infty} p_i^{2a_i} +\displaystyle\prod_{i=1}^{\infty} p_i^{2b_i}= \displaystyle\prod_{i=1}^{\infty} p_i^{{a_i}+{b_i}+{c_i}}+\displaystyle\prod_{i=1}^{\infty} p_i^{c_i}$$

Vamos a demostrar que para cada $i$, $c_i$ es incluso

1. Para cada $i$ donde $a_i \neq b_i$
   Vamos a examinar el p-ádico orden de ${\nu_p}_i$ de ambos lados, donde ${\nu_p}_i$ se define como la máxima potencia del número entero tal que la expresión es divisible por ${p_i}^{{\nu_p}_i}$.
   
   Tenga en cuenta que al menos uno de $a_i,b_i$ en un valor distinto de cero. De RHS vemos que ${\nu_p}_i$ es exactamente $c_i$ (si fuera más grande por 1, el segundo término se convertiría en una fracción, mientras que el término izquierda sigue siendo un número entero, por lo que la suma sería una fracción)
   De la PREPA utilizando exactamente la misma consideración vemos que ${\nu_p}_i$$\min(2a_i,2b_i)$.
   En este caso, ${\nu_p}_i$ y, por tanto, $c_i$ es incluso.
   
   

2. Para cada $i$ donde $a_i = b_i$
   Esto es donde estoy atascado! Quiero mostrar que la $c_i$ es incluso. Mucho más difícil de lo que pensé!

A partir de (1) y (2) podemos ver que $c_i$ es también para todos los que, por lo tanto: $$\sqrt{c}=\sqrt{\displaystyle\prod_{i=1}^{\infty} p_i^{c_i}}=\displaystyle\prod_{i=1}^{\infty} p_i^{\frac{c_i}{2}}\in \mathbb{N}$$ QED???

Alguien puede ayudar a llenar el vacío?

Answer 1

Su enfoque está viciado desde el principio. Supongo que tu producto se extienden sobre todos los posibles números primos, debido a la infinita producto de la notación. En ese caso, su afirmación de que tanto $a_i$ $b_i$ no puede ser cero es trivialmente falso.

$a,b,c$ son finitos de números, así que por lo suficientemente grande como primer $p_i>\max\{a,b,c\}$, los exponentes son ambos cero.

Si tu infinita producto notación es sólo un lamentable error y que significaba para el uso correcto del canónica de la descomposición en factores primos, entonces usted no puede asumir que $a$, $b$ y $c$ todos tienen el mismo conjunto de primos divisores.