El$k$ - skeleton of$n$ - cube es homotopy equivalente a wedge of$k$ - spheres.

Question

El hecho mencionado anteriormente se puede obtener de la siguiente manera: simplemente contraemos caras hasta que todos los vértices lleguen a un punto. La pregunta es ¿cuántas esferas tenemos?

Una forma de hacerlo es generalizar el método dado aquí: https://math.stackexchange.com/q/1174539

¿Hay alguna otra forma no tan complicada de hacer esto?

Answer 1

Si un espacio es homotopy equivalente a la cuña de$m$$k$% - esferas, entonces su característica de Euler es$\chi=1+(-1)^km$, por lo que podemos encontrar$m$ computando$\chi$ . En este caso, la estructura del cubo proporciona una estructura obvia de complejo CW para que$$\chi=\sum_{j=0}^k(-1)^j 2^{n-j}\binom n j.