Calcular el determinante de $A-5I$

Question

Pregunta

Dejemos que $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\ 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ 21& 22 & 23 & 24 & 25 \end{bmatrix} $ .

Calcular el determinante de $A-5I$ .

Mi enfoque

la nulidad de $A$ es $3$ por lo que la multiplicidad algebraica de $\lambda = 0$ es $3$ es decir $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0.$

Ahora trace( $A$ ) = $\lambda_4 + \lambda_5 = 1+6+13+19+25 = 65$

Entonces det( $A-5I$ ) = $(\lambda_1-5)(\lambda_2-5)(\lambda_3-5)(\lambda_4-5)(\lambda_5-5)=(-5)^3(\lambda_4\lambda_5 - 5 \times 65 + 25)$

Tenemos que calcular el valor de $\lambda_4 \lambda_5$ que incluye la suma de los lotes del determinante de $2 \times 2$ matrices.

¿Hay alguna forma rápida de calcular el determinante?

Answer 1

Para determinar $\det(A - 5I)$ basta con calcular los valores propios de $A$ . Para ello, observamos que $A$ tiene rango $2$ lo que significa que tiene como máximo $2$ valores propios no nulos.

Dejemos que $\lambda_1,\lambda_2$ denotan estos valores propios. Observamos que $$ \lambda_1 + \lambda_2 = \operatorname{tr}(A) = 65\\ \lambda_1^2 + \lambda_2^2 = \operatorname{tr}(A^2) = 4725 $$ Resolviendo estas ecuaciones para $\lambda_{1},\lambda_2$ produce $$ \lambda_{1,2} = \frac 12\left(65 \pm 5 \sqrt{209}\right) $$ De este modo, calculamos $$ \det(A - 5I) = \prod_{k=1}^5 (\lambda_k - 5) = \frac 14(55^2 - 25 \cdot 209) \cdot (-5)^3 = 68750 $$

Answer 2

Reducción de filas de la matriz $A-5I$ es más rápido. $$ \begin{gather} \begin{pmatrix} -4 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 6 & 2 & 8 & 9 & 10 \\ 11 & 12 & 8 & 14 & 15 \\ 16 & 17 & 18 & 14 & 20 \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 20 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} -4 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 14 & -2 & 2 & 1 & 0 \\ 23 & 6 & -1 & 2 & 0 \\ 32 & 9 & 6 & -2 & 0 \\ 37 & 14 & 11 & 8 & 0 \end{pmatrix} \\ \longrightarrow \begin{pmatrix} -4 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 14 & -2 & 2 & 1 & 0 \\ -5 & 10 & -5 & 0 & 0 \\ 60 & 5 & 10 & 0 & 0 \\ -75 & 30 & -5 & 0 & 0 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} -4 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 14 & -2 & 2 & 1 & 0 \\ -5 & 10 & -5 & 0 & 0 \\ 50 & 25 & 0 & 0 & 0 \\ -70 & 20 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\ \longrightarrow \begin{pmatrix} -4 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 14 & -2 & 2 & 1 & 0 \\ -5 & 10 & -5 & 0 & 0 \\ 50 & 25 & 0 & 0 & 0 \\ -110 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{gather} $$ Esto no lleva más de $30$ multiplicaciones en total. El determinante es claramente $$5\cdot (-1) \cdot (-5) \cdot (-25) \cdot (-110) = 68750.$$ Decidí reducir la fila de la matriz de esta manera para aprovechar el hecho de que cada entrada de la última columna es un múltiplo de $5$ . Facilitó los cálculos al hacerlo a mano.

Answer 3

El cálculo de $\lambda_4 \lambda_5$ (que en este caso equivale al término cúbico del polinomio característico) viene dado, efectivamente, por la suma de principales $2\times2$ subdeterminantes

$$\lambda_4 \lambda_5 = \sum_{i=2}^5 \sum_{j=1}^{i-1} \left|\begin{matrix}a_{ii}&a_{ij}\\a_{ji}&a_{jj}\end{matrix}\right|.$$

En este caso tenemos realmente la fórmula fácil $a_{ij} = 5i+j-5$ por lo que la subdeterminante anterior se simplifica a $-5(i-j)^2$ . Por supuesto, podemos evaluar la suma doble algebraicamente, pero es igual de fácil reagrupar la suma según el valor de $i-j$ :

$$\sum_{1\le j < i \le 5} (i-j)^2 = 4\cdot 1^2 + 3\cdot 2^2 + 2\cdot 3^2 + 1\cdot4^2 = 4 + 12 + 18 + 16 = 50.$$

Así, $\lambda_4 \lambda_5 = -5(50) = -250$ y $\det(A-5I) = (-5)^3 (-250-5\cdot 65+25) = 68750$ .

Answer 4

Sea la base estándar de $\mathbb R^5$ se denotará $\{e_1,e_2,\dotsc,e_5\}$ . Sea $\vec l$ denotan la columna más a la izquierda de $A$ y que $\vec 1$ sea el vector columna de todos los $1$ s. Tenemos que para todos $i \in \{1,\dotsc,5\}$ : $$\begin{align}&Ae_i = \vec l+(i-1)\vec1 \\&\vec l = \sum_{i=1}^5 ie_i \\&\vec 1 = \sum_{i=1}^5 e_i\end{align}$$ Dado que cada vector en la imagen (o rango, si lo llamas así) de $A$ es una combinación lineal de $\vec 1$ y $\vec l$ se deduce que el rango de $A$ es $2$ . De lo que se deduce que $3$ de $A$ son los valores propios de $0$ .

Ahora procedemos a encontrar los restantes valores propios. Nos centramos en el subespacio de $\mathbb R^5$ abarcados por $\vec 1$ y $\vec l$ . Vemos que $$A \vec 1 = 10\vec 1 + 5\vec l \\ A \vec l= 160\vec 1 + 55\vec l$$ Restringir $A$ al subespacio $\operatorname{span}\{\vec 1, \vec l\}$ y cambiar a la base $\{\vec 1, \vec l \}$ . Lo consigues: $$B=\begin{bmatrix}10 & 160 \\ 5 & 55 \end{bmatrix}$$ Cualquier valor propio de $B$ es un valor propio de $A$ . Los valores propios de $B$ son $_{12} = \frac52 (13 \pm \sqrt{209}) $ .

Ahora hemos encontrado todos los $A$ de los valores propios.

Por último, el determinante de $A$ es $\prod_{i=1}^5(\lambda_i - 5) = \frac52(11 + \sqrt{209})\frac52(11 - \sqrt{209})(-5)(-5)(-5)=68750$ .