Extendiendo los morfismos a través del lema de Zorn

Question

En el vinculado pregunta aquí, el usuario se muestran dos ejemplos de la extensión de morfismos usando el Lema de Zorn argumentos, y he visto el mismo patrón para extender morfismos antes en otras fuentes.

Sin embargo, ninguno de ellos contiene una verificación de la condición del lema de Zorn que cada subconjunto totalmente ordenado tiene un límite superior. El salto directamente desde el establecimiento de la orden en relación con la existencia de un elemento maximal.

Presumiblemente, esto es debido a que la verificación sigue un patrón de rutina que es obvio si usted ha visto antes. Pero suponiendo que no lo he hecho, ¿cómo sabemos que estos posets cumplir con el límite superior de la condición del Lema de Zorn?

Answer 1

Estás en lo correcto de que la verificación es una parte necesaria de la aplicación del lema de Zorn y es, a menudo se omite porque sigue un patrón de rutina.

La configuración general es que tenemos una cadena de $\{(A_i, f_i)\}_{i \in I}$ cuando la $A_i$ son conjuntos y el $f_i\colon A_i \to X$ son morfismos de satisfacciones $A_i \subseteq A_j$ $f_i = f_j|_{A_i}$ siempre $(A_i, f_i) \leq (A_j, f_j)$. A continuación, vamos a $A = \bigcup_iA_i$ y definen $f\colon A \to X$ por la siguiente regla: Para $a \in A$ elija $i$ tal que $a \in A_i$ y definen $f(a) = f_i(a)$.

Ahora usted tiene que comprobar dos cosas: primero, nuestra definición de $f$ requiere una elección y tenemos que demostrar $f$ no depende de esta elección. De esta manera se sigue debido a la restricción de las condiciones en las $f_i$, lo que implica que $f_i(a)$ es el mismo para todos los $i$ tal que $a \in A_i$. En segundo lugar, usted tiene que comprobar que el $(A, f)$ es un límite superior para la cadena de $(A_i, f_i)$. Esto equivale a mostrar que la $f|_{A_i} = A_i$, lo cual es cierto por definición de $f$ (debido a que podemos elegir que $i$).