Encuentre todos los polinomios$f, g \in \mathbb{Z}[X]$ de modo que$f(g(X))=1 + X + ... + X^{p-1}$

Question

Encuentre todos los polinomios$f, g \in \mathbb{Z}[X]$ de tal manera que $ f (g (X)) = 1 + X + ... + X ^ {p-1}$ where $ p \ gt 2 $ es un primo.

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Una solución es$g = X, f =1 + X + ... + X^{p-1}$.

Si$\deg(f)=m, \deg(g)=n$ luego$f=\pm X^m + ... , g=\pm X^n + ... $ con$mn = p-1$

No tengo idea de cómo llegar más lejos.

ACTUALIZAR

$g = -X, f =1 - X + X^2 -X^3 + ... + X^{p-1}$ también$f = -X, g =- 1 - X - ... - X^{p-1}$ y$f = X, g =1 + X + ... + X^{p-1}$ también son soluciones.

Answer 1

Supongamos $f(X) = \sum\limits_{k = 0}^m a_k X^k$$g(X) = \sum\limits_{j = 0}^n b_j X^j$. Es fácil ver que $|a_m| = |b_n| = 1$.

En primer lugar, considerar la situación en la que $n = 1$. Si $g(X) = X + b_0$,$$ f(X + b_0) = 1 + X + \cdots + X^{p - 1} \Rightarrow f(X) = 1 + (X - b_0) + \cdots + (X - b_0)^m. $$ Si $g(X) = -X + b_0$,$$ f(-X + b_0) = 1 + X + \cdots + X^{p - 1} \Rightarrow f(X) = 1 + (-X + b_0) + \cdots + (-X + b_0)^m. $$

Siguiente, supongamos $n > 1$. Ahora se centran en el coeficiente de la $X^{p - 2} = X^{mn - 1}$ plazo. Expandir $f(g(X))$ para obtener$$ \sum_{k = 0}^m a_k (g(X))^k = 1 + X + \cdots + X^{p - 1}. $$ Para $0 \leqslant k \leqslant m - 1$, $\deg(a_k (g(X))^k) = kn \leqslant (m - 1)n < mn - 1$, por lo que el coeficiente de $X^{mn - 1}$ $f(g(X))$ es contribuido por $a_m(g(X))^m$. Tenga en cuenta que $\deg g = n$, por lo tanto el coeficiente de $X^{mn - 1}$$a_m(g(X))^m$$a_m \cdot \binom{m}{1} b_n^{m - 1} b_{n - 1} = m a_m b_{n - 1} b_n^{m - 1}$. Dado que el coeficiente de $X^{mn - 1} = X^{p - 2}$$1 + X + \cdots + X^{p - 1}$$1$,$$ m a_m b_{n - 1} b_n^{m - 1} = 1 \Longrightarrow m = 1. $$ Ahora, si $f(X) = X + a_0$,$$ g(X) + a_0 = 1 + X + \cdots + X^{p - 1} \Longrightarrow g(X) = 1 + X + \cdots + X^{p - 1} - a_0. $$ Si $f(X) = -X + a_0$,$$ -g(X) + a_0 = 1 + X + \cdots + X^{p - 1} \Longrightarrow g(X) = -1 - X - \cdots - X^{p - 1} + a_0. $$