$A+B$ es Nil ideal

Question

Tengo el siguiente problema

Deje $R$ ser un anillo, $A$ cero a la izquierda ideal, $B$ ser un nil ideal. Demostrar que $A+B$ es una izquierda nil ideal. (Nil ideal es un ideal en la que cada elemento es nilpotent.)

En general, la suma de dos nilpotent elementos no pueden ser nilpotent (en el caso de los no-conmutativa anillo), por lo que un conjunto de nilpotent elementos no puede ser un ideal, así que tengo la pregunta

Cuál es la condición que podría hacer un conjunto de nilpotent elementos para ser un ideal?

Veo Köthe conjetura en https://en.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6the_conjecture es un problema abierto, pero mi problema da $A$ nil ideal y $B$ es un dos caras nil ideal, así que puede que mi problema sea más fácil?

Answer 1

Deje$a\in A$ y$b\in B$. Tenemos \begin{align} (a+b)^1&=a+b_1\\ (a+b)^2&=a^2+ab+ba+b^2=a^2+b_2\\ (a+b)^3&=(a+b)(a^2+b_2)=a^3+ba^2+ab_2+bb_2=a^3+b_3 \end {align} y, mediante una inducción fácil,$(a+b)^n=a^n+b_n$ con$b_n\in B$.

Si$a^m=0$, obtienes $$ (a + b) ^ m = a ^ m + b_m = b_m $$ y, como$b_m$ es nilpotente,$b_m^k=0$ para algunos$k$ Entonces $$ (a + b) ^ {mk} = ((a + b) ^ m) ^ k = 0 $$

Una prueba más "teórica del anillo". El ideal de la izquierda$A+B$ es nulo en$R/B$, porque $$ (A + B) / B \ cong A / (A \ cap B) $$ Por lo tanto, para cada$a\in A$ y$b\in B$, existe$m>0$ con$(a+b)^m\in B$. Como$(a+b)^m\in B$ y$B$ son nulos, hemos terminado.