Probar$\int _0^\infty f^2 dx \leq \cdots $ para$f$ convexo

Question

Probar$$\int _0^\infty f^2(x) dx \leq \frac{2}{3}\cdot \max_{x \in \mathbb R^+} f(x) \cdot \int _0^\infty f(x) dx$$ for $ f (x) \ geq 0 $ y convexo.

Sé por medio de Holder que podemos obtener sin la constante$\frac{2}{3}$, pero eso también debería ser cierto para$f$ no convexo. Intenté algunos enfoques utilizando la convexidad pero no obtuve el resultado deseado.

Una sugerencia o referencia también ayudaría. Además, sería interesante saber cuándo se cumple la igualdad.

Answer 1

La r.h.s. es finito si y sólo si la función convexa $f$ es monótona decreciente en $[0,+\infty)$$\lim_{x\to +\infty} f(x) = 0$.

Consideremos una función de este tipo. Con el fin de simplificar la prueba, se asume también que el $f\in C^1([0,\infty))$ (este supuesto puede quitar fácilmente).

Vamos a definir la función auxiliar $\varphi\colon [0,+\infty)\to \mathbb{R}$, $$ \varphi(x) := \frac{2}{3} f(x) \int_x^{+\infty} f(t)\, dt - \int_x^{+\infty} f(t)^2\, dt, \qquad x\geq 0. $$ Vamos a demostrar que $\varphi(x) \geq 0$ por cada $x\geq 0$, de ahí la necesaria desigualdad se sigue de $\varphi(0) \geq 0$.

Tenemos que $$ \varphi'(x) = \frac{2}{3}f'(x) \int_x^{+\infty} f(t)\, dt -\frac{2}{3} f(x)^2 + f(x)^2 = \frac{2}{3}f'(x) \int_x^{+\infty} f(t)\, dt +\frac{1}{3} f(x)^2. $$ Desde $f$ es convexo, si $f'(x) \neq 0$ (por lo tanto,$f'(x) < 0$) tiene $$ (*) \qquad \int_x^{+\infty} f(t)\, dt \geq \int_x^{x - f(x)/f'(x)} \left(f(x) + (t-x)f'(x)\right)\, dt = - \frac{f(x)^2}{2 f'(x)}\,, $$ de modo que $\varphi'(x) \leq 0$. Por otro lado, si $f'(x) = 0$, entonces necesariamente $f(x) = 0$, de modo que $\varphi'(x) = 0$.

En conclusión, $\varphi'(x) \leq 0$ por cada $x\geq 0$$\lim_{x\to +\infty} \varphi(x) = 0$, por lo tanto $\varphi(x)\geq 0$ por cada $x\geq 0$.

El $C^1$ regularidad requisito puede ser removido de la observación de que $\varphi$ es Lipschitz continua y la desigualdad $\varphi'(x) \leq 0$ mantiene en cada punto de la diferenciabilidad.

La igualdad ocurre si, y sólo si $\varphi(0) = 0$, es decir, si y sólo si $\varphi'(x) = 0$ por cada $x\geq 0$. A partir de la discusión que lleva a (*), se deduce que esto puede suceder si y sólo si existe $K\geq 0$ tal que $f(x) = 0$ por cada $x\geq K$ $f$ es afín en el intervalo de $[0,K]$.