¿Cuál es la esencia de Kernel o Espacio Nulo?

Question

Describo el Núcleo de esta manera: Núcleo(En teoría de grupos, Álgebra Lineal, etc.) mide el grado en que un mapa o de morfismos no puede ser inyectiva. En "finito dimensionales", también mide el grado en el que un mapa o de morfismos no ser surjective.

Cómo dar una definición más general de Núcleo, en lugar de la definición de ellos en especial Algebraica de la estructura, tales como grupos?

Answer 1

En la categoría de teoría (que es el más general del campo de las matemáticas), el núcleo de una de morfismos $X \overset f \longrightarrow Y$ en una punta de la categoría es el ecualizador de $f$ con el cero de morfismos $X \overset 0 \longrightarrow Y$.

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Explicaciones

• Categoría de la teoría: se busca generalizar mucho de matemáticas, pero especialmente aquellos relacionados con el álgebra. Una categoría es un conjunto o clase de objetos , junto con un conjunto o clase de morfismos entre cada par de objetos (que puede estar vacía para algunos de los pares) indicados $M(x,y)$, que satisface algunas propiedades:

  1. Para cada $f \in M(x,y)$ $g \in M(y,z)$ existe un morfismos en $M(x,z)$ denotado $g \circ f$.
  2. Para cada $f \in M(x,y)$, $g \in M(y,z)$, y $h \in M(z,w)$,$(h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f)$.
  3. Para cada objeto $x$, hay un morfismos llama $\operatorname{id}_x$ (la identidad de morfismos) tal que para cada $f \in M(x,y)$, $f \circ id_x = f$, y para cada $f \in M(w,x), \operatorname{id}_x \circ f = f$.

Un ejemplo es la categoría de $\bf Set$, donde los objetos son conjuntos y los morfismos son las funciones entre conjuntos. Otro ejemplo es la categoría de $\bf Grp$, donde los objetos son los grupos y los morfismos son homomorphisms entre los grupos.

• Inicial del objeto: Un objeto inicial es un objeto $I$ tal que para cada objeto $X$, no hay una única morfismos $I \longrightarrow X$. No cada categoría tiene un objeto inicial.

• Terminal de objeto: Un terminal de objeto es un objeto $T$ tal que para cada objeto $X$, no hay una única morfismos $X \longrightarrow T$.

• Señaló categoría: con la punta de su categoría es una categoría donde cero objetos existen. Un cero objeto es un objeto que es a la vez un objeto inicial y una terminal de objeto.

• Cero de morfismos: Para cada objeto $X$$Y$, no hay una única morfismos en $M(X,0)$ y un único morfismos en $M(0,Y)$ donde $0$ denota el objeto de cero. A continuación, la composición se llama el cero de morfismos $X \overset 0 \longrightarrow Y$.

• Ecualizador: Para un par de morfismos $X \overset f {\underset g \rightrightarrows} Y$, el ecualizador de $f$$g$, si es que existe, es un objeto $E$ junto con un morfismos $E \overset {eq} \longrightarrow X$ tal que $f \circ eq = g \circ eq$, y tal que para cualquier otro objeto $E'$, seguido por un morfismos $E' \overset {eq'} \longrightarrow X$ tal que $f \circ eq' = g \circ eq'$, no hay una única morfismos $E' \overset h \longrightarrow E$ tal que $eq \circ h = eq'$.

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La definición de ecualizador es bastante complicado.

Afirma que, dado el siguiente diagrama: $$X \overset f {\underset g \rightrightarrows} Y$$

Un ecualizador de $f$ $g$ es un objeto $E$ junto con un morfismos $E \overset {eq} \longrightarrow X$ de manera tal que este diagrama conmuta: $$E \overset {eq} \longrightarrow X \overset f {\underset g \rightrightarrows} Y$$ (Un diagrama conmutativo es uno donde "todos dirigidos caminos en el diagrama con el mismo inicio y extremos conducen al mismo resultado", para citar a la Wikipedia.)

Además, el objeto y los morfismos ha de satisfacer la condición de que para cualquier otro objeto $E'$ y morhpism $E' \overset {eq'} \longrightarrow X$ de manera tal que el siguiente diagrama conmuta: $$E' \overset {eq'} \longrightarrow X \overset f {\underset g \rightrightarrows} Y$$

Entonces existe un único morfismos $E' \overset h \longrightarrow E$ de manera tal que el siguiente diagrama conmuta: $$\begin{array}{c} && E' \\ & \swarrow \small h & \downarrow \small {eq'} \\ E & \overset {eq} \longrightarrow & X & \overset f {\underset g \rightrightarrows} & Y \end{array}$$

El nombre se debe al hecho de que los morfismos $f$ $g$ llegan a ser "iguales" si restringida bajo la imagen de $eq$.

También, en $\bf Set$, el ecualizador puede ser construido como $\{x \in X \mid f(x) = g(x)\}$, que es un subconjunto de a $X$, por lo que los morfismos $eq$ es la inclusión de morfismos, es decir,$eq: x \mapsto x$.

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Tenga en cuenta que $\bf Set$ no tiene cero objetos (su objeto inicial es el conjunto vacío y su terminal de objetos son los únicos).

Sin embargo, $\bf Set_*$, la categoría de punta fija, tiene cero objetos. En esta categoría, los objetos son tuplas $(S, s)$ donde $s \in S$, y una de morfismos $(S, s) \overset f \longrightarrow (T, t)$ es una función de $f:S \to T$ tal que $f(s)=t$. El cero objetos son objetos en el formulario de $(\{x\}, x)$.

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Por lo general, una función inyectiva es una izquierda-función invertible, es decir, una función de $f:X \to Y$ tal que existe una función de $g:Y \to X$ con la propiedad de que $g \circ f = \operatorname{id}_X$.

Tal morfismos en la categoría de teoría se llama split monomorphism.

Sin embargo, se suele considerar monomorphisms lugar, que son a la izquierda cancellative funciones. Todos los de split monomorphisms son monomorphisms, pero no todos los monomorphisms se dividen monomorphisms.

Si una de morfismos $X \overset f \longrightarrow Y$ en la punta de su categoría es un monomorphism, a continuación, el cero objeto es el núcleo de $f$, donde la prueba se omite como un ejercicio.

Sin embargo, el recíproco no es cierto, como puede verse en $\bf Set_*$.

Answer 2

En una categoría $\mathsf{C}$ con un cero el objeto $0\in\text{Ob}(\mathsf{C})$, que es un objeto que es a la vez inicial y terminal, podemos definir el cero de morfismos $0\in\text{Mor}(\mathsf{C})$.

De hecho, la composición de la $X\longrightarrow 0\longrightarrow Y$ define el cero de morfismos. Si nuestra categoría es cerrado bajo ecualizadores, podemos definir un núcleo de una de morfismos $f:X\to Y$ a de la siguiente ecualizador: $$K\stackrel{k}{\to}X\overset{f}{\underset{0}\rightrightarrows}Y$$

Usted puede desear leer la definición de una monomorphism y un epimorphism en una categoría general.

Usted menciona la medición de la distancia lineal mapa está lejos de ser inyectiva y surjective. Decir que el lineal mapa es inyectiva, entonces el núcleo es trivial. Si el lineal mapa de $h:A\to B$ es surjective, entonces el cokernel es trivial:

$$\text{Coker}(h)=B/\text{im}(h).$$

Uno puede definir la cokernel categoría teóricamente:

Un cokernel para $f:A\to B$, $\text{Cok}(f)$, es un par $(C,p)$ donde $p:B\to C$ es un epimorphism tal que $pf=0$, y de tal manera que cualquier otro de morfismos $h:B\to Y$ $hf=0$ factores a través de $p$. Este es un ejemplo de un universal de la construcción.

Uno puede entonces demostrar que la imagen es simplemente el kernel para un cokernel, y que un coimage es el cokernel para un kernel.

Answer 3

Lo que no se ha mencionado aún: dado un homomorphism $f\colon G\to H$ entre los dos grupos (o vectorspaces), entonces uno puede establecer un nuevo grupo de $G/\ker(f)$ a través de la equivalencia de la relación. Ejemplo destacado: $f\colon\mathbb Z\to\mathbb Z$, $x\mapsto2x$. A continuación, $\ker(f)=2\mathbb Z$ $f$ produce el famoso $\mathbb Z/2\mathbb Z=\mathbb Z_2$.