Deje $\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}$ ser raíces de la unidad en la $\mathbb{C}$ y deje $g$ ser la matriz diagonal con $\lambda_{i}$ $(i,i)$ entrada. Deje $H$ ser el subgrupo de monomio matrices cuyos distinto de cero las entradas siempre se $\pm 1$ (para una matriz en la $H$ tiene exactamente un valor distinto de cero de cada fila y cada columna, y esta entrada es $1$ o $-1$). Por último, vamos a $G$ ser el grupo generado por $g$ $H$ y deje $\rho:G\to GL_{n}(\mathbb{C})$ ser la integración de la representación.
Primera nota de que $G$ es finito. Para ver esto, vamos a $m$ denotar el orden de $g$ y deje $X$ ser el grupo de la diagonal de las matrices con $m^{\text{th}}$ raíces de la unidad a lo largo de la diagonal. El grupo $H$ normaliza $X$$g\in X$, lo $G\leq HX$. Desde $H$ $X$ ambos son finitos, por lo que es $HX$; en consecuencia, $G$ es finita.
La representación $\rho$ es irreductible, debido a su restricción a $H$ es irreductible---ver Jyrki Lahtonen del comentario de abajo. He aquí otra razón por la que la restricción de $\rho$ $H$es irreductible: una útil teorema de Burnside estados que una representación $\varphi:G\to GL_{n}(\mathbb{C})$ de un grupo finito $G$ es irreducible si y sólo si el asociado álgebra homomorphism $\varphi:\mathbb{C}G\to M_{n}(\mathbb{C})$ desde el anillo de grupo en el álgebra de matrices es surjective (el álgebra asociada homomorphism se extiende el grupo original de la representación, lo que explica el abuso de notación). Ahora, la restricción de $\rho$ $H$es sólo la incorporación de la $H$$GL_{n}(\mathbb{C})$. Con el fin de aplicar el teorema de Burnside y deducir que esta restricción es una representación irreducible, sólo tenemos que mostrar que el álgebra generada por $H$ $M_{n}(\mathbb{C})$ es la totalidad del álgebra de matrices.
Reclamo: El $\mathbb{C}$-álgebra generada por $H$ contiene el conjunto de $S$ de las matrices que tienen exactamente un valor distinto de cero de la entrada.
Ya que cada matriz en $M_{n}(\mathbb{C})$ es una combinación lineal de las matrices en $S$, si la afirmación es verdadera, entonces el álgebra generada por $H$ es el conjunto de álgebra de matrices. Así pues, vamos a $A\in S$, y decir que el único distinto de cero de entrada de $A$ $a$ y vive en la $(i,j)$ entrada. Deje $I^{(i,j)}$ ser la matriz identidad con columnas $i$ $j$ intercambiados. Tenga en cuenta que $I^{(i,j)}\in H$ e ha $1$ $(i,j)$ entrada. Deje $J$ ser la matriz diagonal con $-1$'s a lo largo de la diagonal, excepto en el $(i,i)$ entrada, donde colocamos un $1$. Deje $J^{(i,j)}$ ser la matriz $J$ de columnas $i$ $j$ intercambiados. Tenga en cuenta que $J^{(i,j)}\in H$ y que esta matriz se parece a $I^{(i,j)}$, salvo que todas las entradas además de la $(i,j)^{\text{th}}$ se han multiplicado por $-1$. Por último, la afirmación de la siguiente manera porque
\begin{equation*}
A=\dfrac{a}{2}\left(I^{(i,j)}+J^{(i,j)}\right)
\end{ecuación*}
y el término de la derecha es un elemento de la $\mathbb{C}$-álgebra generada por $H$. (Yo prefiero Jyrki Lahtonen la explicación, pero a veces es bueno tener más de una para el reaseguro.)
Por construcción, los autovalores de a $\rho(g)$ son, precisamente,$\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}$.
Creo que la misma construcción o similar, se podría trabajar sobre cualquier campo, pero no tengo tiempo para comprobar los detalles ahora mismo.
