Entero solución

Question

Me gustaría resolver la siguiente ecuación para $\alpha$ bajo la condición de que $\alpha$ es un número entero (positivo o negativo)

$$\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)(\alpha-3)-2n(n-1)(\alpha-1)(\alpha-2)+[n(n-1)-2]n(n-1)=0$$

donde $n$ es un número entero. Es allí una manera sistemática/método para solucionar o tengo que usar el método de prueba y error?

Para algunos, esta es una relación que se desprende de la ecuación diferencial $$\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)(\alpha-3){\cal G}_{n}+4(1-\mu^{2})\frac{d^{2}{\cal G}_{n}}{d\mu^{2}}-4(1-\mu^{2})\alpha \frac{d^{2}{\cal G}_{n}}{d\mu^{2}}+2(1-\mu^{2})\alpha(\alpha-1)\frac{d^{2}{\cal G}_{n}}{d\mu^{2}}+(1-\mu^{2})^{2}\frac{d^{4}{\cal G}_{n}}{d\mu^{4}}-4\mu(1-\mu^{2})\frac{d^{3}{\cal G}_{n}}{d \mu^{3}}=0 $$ donde ${\cal G}_{n}$ obedece a la ecuación de $$(1-\mu^{2})\frac{d^{2}{\cal G}_{n}}{d\mu^{2}}+n(n-1){\cal G}_{n}=0$$

Answer 1

A partir de la observación por user35202, la ecuación puede ser factorizados$$ (α + n - 1)(α + n - 3)(α - n)(α - n - 2) = 0. $$ Así que todas las soluciones son $α = -n + 1$, $α = -n + 3$, $α = n$, y $α = n + 2$.

Answer 2

Para una más "de manera sistemática", que no dependen de "ver" el derecho de la factorización, considere la posibilidad de la explotación de la simetría alrededor de $\,\alpha=\frac{3}{2}=\frac{0+3}{2}=\frac{1+2}{2}\,$. Deje $x-3/2 = y$, la sustitución de $x = y + 3/2$ en la ecuación original le da un biquadratic en $y$ es decir, una ecuación cuadrática en $y^2$, el cual puede ser resuelto de forma rutinaria en el caso general, sin hacer suposiciones acerca de los valores enteros:

$$ 16 y^4 - 8(4n^2-4n+5)y^2 + 16n^4 - 32 n^3 - 8 n^2 + 24 n + 9 = 0 $$

Answer 3

Su recurrencia relación parece estar mal si usted está usando las ecuaciones diferenciales que se dan. Debe ser en lugar de $$\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)(\alpha-3)-2n(n-1)(\alpha-1)(\alpha-2)+[n(n-1)-2]n(n-1)=0$$

Una solución a esta ecuación es $\alpha=n+2$. Otra es $\alpha=3-n$. Como se ha señalado por Alex Francisco, las otras 2 las soluciones son $\alpha=n$$\alpha=1-n$.

Answer 4

Sí, hay una manera sistemática, pero es posible que desee para alistar la ayuda de la computadora en ese sentido.

Así tenemos que el polinomio $$p(\alpha)=\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)(\alpha-3)-4n(n-1)(\alpha-1)^2+n(n-1)[n(n-1)-2]$$ and we want integers $\alpha_i$ so that $p(\alpha_i)=0$ for integral $$n.

Tenga en cuenta que en la forma canónica, el término constante de $p$ está dado por $$n(n-1)[n(n-1)-2]-4n(n-1)=n(n-1)[n(n-1)-6]=k(n).$$ Now by the integral root corollary of the rational root theorem, all the integral roots $\alpha_i$ of $p$ must divide $k$. Thus we can find all the integral roots (when they exist) for arbitrary $n$; it suffices to check each of the factors of $k$ (for large $k$ this is obviously better by computer*) to see which is a root of $p$. Now this is always possible in a finite number of steps because every integer save $0$ has only a finite number of factors. As for $0$, we have $k=0$ only when $n=0$ or $n=1$ (since $k$ increases with $n$), and in these cases, the roots are clearly in $\{0,1,2,3\}$. This parity of roots, when they exist, is true in general for the integral pairs $r$ and $1-r$ when $r\ge2$. This clearly exhausts the integers $n$.

*Tenga en cuenta que incluso por computadora, unos números muy grandes no pueden ser fácilmente factorizada, pero esto es sólo un problema técnico; en teoría, cada número entero se puede expresar como un producto de números primos (sin tomar en cuenta el orden de los factores).