¿Cómo sé que el siguiente conjunto multivariable (dominio) es convexo?

Question

Quiero ejecutar una función de optimización de las siguientes variables. ¿Cómo sé que el siguiente dominio multivariable es convexo?

$f(\alpha, B_s, B_r, B_d)$ y el dominio está formado por $\alpha, B_r, B_d, B_s$ , donde:

1) $0\leq \alpha \leq1$

2) $0\leq B_r \leq \alpha(B_s + B_d)$

3) $0\leq B_d \leq C_0$

4) $0\leq B_s \leq C_0$

5) $0\leq B_r \leq C_0$

y $C_0$ es una constante positiva. Digamos que $C_0 = 100$ .

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Intento :

La definición de conjunto convexo es que dados dos puntos $x,y$ en el conjunto, si $\lambda x + (1-\lambda)y$ también está en el conjunto, entonces este domino es un conjunto convexo, para $\lambda $ entre 0 y 1.

Dejemos que $x = [\alpha, B_s, B_r, B_d]^T, y = [\alpha', B_s', B_r', B_d']^T$ .

Entonces, $\lambda x + (1-\lambda)y$ =

$[\lambda \alpha + (1-\lambda) \alpha', \lambda B_s + (1-\lambda) B_s', \lambda B_r + (1-\lambda) B_r', \lambda B_d + (1-\lambda) B_d']^T$ .

Entonces me quedé atascado. Es muy obvio que $\alpha, B_d, Bs$ son convexos. Pero $B_r$ es un poco complicado.

Answer 1

Este dominio no es convexo. Supongamos que $\lambda=\frac{1}{2}$ con $$x=(\alpha,B_s,B_r,B_d)=(1,1,1,0)$$ $$y=(\alpha',B_s',B_r',B_d')=(0,0,0,0)$$ Entonces $x$ y $y$ ambos satisfacen todas las desigualdades pero $\lambda x + (1-\lambda y)=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)$ no satisface 2) porque $$\frac{1}{2} \nleq \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}+0\right).$$