Este MathOverflow post presenta una alternativa axiomatization de punto-establecer la topología que armoniza con la idea intuitiva de que una topología en un conjunto indica que los puntos son "infinitamente cercanos". La parte pertinente del post es parafraseado a continuación.
Definición: Un toque relación en un conjunto $X$ es una relación binaria $\lessdot$ entre los miembros de $X$ y los subconjuntos de a $X$ (leemos $x \lessdot A$ " $x$ toques $A$") que satisface los siguientes axiomas:
- Ningún elemento de $X$ toca el conjunto vacío.
- Si $x \in A$,$x \lessdot A$.
- Si $x \lessdot (A \cup B)$, $x \lessdot A$ o $x \lessdot B$.
- Si $x \lessdot A$ y cada elemento de a $A$ toques $B$,$x \lessdot B$.
Me gustaría demostrar que estos axiomas son, de hecho, equivalente a la usual axiomas para una topología en términos de bloques abiertos. Para hacer esto, necesito de exhibición para cualquier conjunto dado $X$ un bijective correspondencia entre el tacto de las relaciones en $X$ y topologías en $X$. Creo que la correspondencia correcta es la siguiente:
- Dado un toque relación en $X$, obtenemos una topología en $X$ declarando $A \subseteq X$ a ser abierto si y sólo si ningún miembro de $A$ toques $X \setminus A$.
- Dada una topología en $X$, obtenemos un toque relación en $X$ al declarar que las $x \lessdot A$ si y sólo si $x \in \overline{A}$ donde $\overline{A}$ denota la topológico clousure (intersección de todos los cerrados superseries) de $A$.
Hasta ahora he sido capaz de demostrar que ambos de estos mapas están bien definidos (es decir, que no producen una topología de un toque relación y viceversa). También puedo mostrar que el primer mapa que está a la izquierda de la inversa de la segunda (es decir, que a partir de una topología $T$$X$, la construcción el toque relación $\lessdot$ inducida por $T$, y luego la construcción de la topología $T'$ inducida por $\lessdot$, siempre tenemos que $T = T'$). Para rematar la prueba, necesito mostrar que el primer mapa es un derecho de la inversa de la segunda, que todavía no he descubierto cómo hacerlo.
Si he desenrollado las definiciones correctamente, mostrando que el toque relación $\to$ topología $\to$ touch relación de ida es el mapa de identidad cantidades para probar los siguientes:
Si $\lessdot$ es un toque relación en $X$, $x \lessdot A$ si y sólo si $x$ es un miembro de cada superconjunto $B$ $A$ con la propiedad de que $b \lessdot B \implies b \in B$. (Vamos a llamar a un conjunto de $B$ "touch-cerrado.")
La izquierda-a-derecha implicación es fácil, pero el de la derecha-a-izquierda implicación me escapa.
Pregunta: Vamos a $\lessdot$ ser un toque relación en $X$, y deje $A \subseteq X$ ser dado. Supongamos que $x$ es un miembro de cada toque-cerrado superconjunto de a $A$. Cómo puedo probar que $x \lessdot A$?
Mi parcial de la prueba de intento de la siguiente manera.
Prueba: Vamos a $C$ ser la intersección de cada toque-cerrado superconjunto de a $A$. Por hipótesis, $x \in C$, lo $x \lessdot C$. Utilizando el cuarto toque axioma, es suficiente para mostrar que cada elemento de a $C$ toques $A$. Para ello, supongamos que la causa de la contradicción que algún elemento $c \in C$ no toca $A$. Luego me dicen que no existe un contacto cerrado superconjunto $B$ $A$ que no contengan $c$. De hecho...
