Interesante problema estilo olimpiada sobre invariancia

Question

El problema: Se permiten las siguientes operaciones con el polinomio cuadrático $ax^2 +bx +c:$ (a) cambiar $a$ y $c$ b) sustituir $x$ por $x + t$ donde $t$ es cualquier real. Repitiendo estas operaciones, ¿se puede transformar $x^2 x 2$ en $x^2 x 1?$

Mi intento: Obsérvese que la suma de los coeficientes $S\equiv a+b+c\pmod{t}$ es invariable. Esto queda claro si cambiamos $a$ y $c.$ Si sustituimos $x$ con $x+t$ entonces tenemos $ax^2+(2at+b)x+(at^2+bt+c)$ y así $S\equiv a+2at+b+at^2+bt+c\equiv a+b+c\pmod{t}.$ Ahora para $x^2-x-2$ tenemos $S\equiv -2\pmod{t}$ y al final queremos $S\equiv -1\pmod{t}$ lo cual es imposible. No estoy seguro de que esto sea correcto porque $t\in \mathbb{R}.$ Así que cualquier aportación será muy apreciada.

Answer 1

Las dos operaciones preservan el discriminante $b^2-4ac$ ahora el discriminante de $x^2-x-2$ es $9$ mientras que el discriminante de $x^2-x-1$ es $7$ . Así que...

Answer 2

No lo entiendo. ¿Esto es $S = a+b+c\pmod{t}$ o $S= a+b+c$ . Porque no entiendo cómo consigues $S\equiv a+b+c\pmod{t}$ en el segundo caso.

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De todos modos, calcula el discriminante y demuestra que no cambia:

Marcar el nuevo polinomio con $a'x^2+b'x+c'$

Caso 1. Si cambiamos sólo obtenemos de $ax^2+bx+c$ este $cx^2+bx+a$ así que $a'=c$ , $b'=b$ y $c'=a$ así que $$D' = b'^2 -4a'c' = b^2-4ac = D$$

Caso 2. Si sustituimos $x$ con $x+t$ obtenemos $$a(x+t)^2+b(x+t)+c = ax^2+(2at+b)x +at^2+bt+c$$ así que $a' = a$ , $b' = 2at+b$ y $c'=at^2+bt+c$ así que $$D' = (2at+b)^2-4a(at^2+bt+c) = 4a^2t^2+4abt+b^2 -4at^2-4abt-4ac = D$$

Así que como el discriminante al principio es diferente al final es imposible.