La curvatura geodésica $\kappa_g$ ( que es el común isométrica guía) de la curva en el plano tangente de la pelota es igual a la curvatura geodésica de la traza en el plano.
Se intenta abordar la cuestión de facilitar la curvatura de los casos más exigente, dependiendo del número de constantes necesarias para crear la superficie.
Con esta restricción de la plana de la curva de conocida posición inicial y la inclinación de referencia puede ser determinada por la integración de una vez la línea curva en la bola es conocido.
Y por el contrario,todo el espacio de la curva de $R^3$ de los parámetros conocidos viz., posición inicial, la inclinación inicial de la curvatura normal y geodésica de torsión sobre la bola puede ser determinada por la integración de una vez la bola de la geometría y de la tierra traza la curva dada.
Será interesante rastrear las costuras de una base de la bola o pelota de rugby como el conjunto de líneas de no-cero curvatura geodésica.
La traza de una geodésica es siempre una línea recta , cualquiera que sea la forma de la bola o el tamaño dibuja sobre el plano P.
Las trazas de las líneas curvas siga intrínseca/natural de ecuaciones en el plano P., es decir, podemos aislar arco-$\kappa_g $ respecto de la línea 3D y traslado en avión y mantenga la misma relación como válida para ser dibujado en el plano P.
En primer lugar podemos establecer el balanceo de la bola con un pequeño círculo de una esfera (latitud $=\phi$) de un círculo restante en contacto sin resbalar con el avión $P$. Elegimos las esferas en la actualidad como la normal curvaturas son constantes y más fácil de formular. En la siguiente figura latitud radio de curvatura
$$R_g= R \cot \phi $$
mantiene a lo largo del arco circular en paralelo, que es también una tangencial de cono línea de base.
Más tarde en el mismo se puede generalizar, formular y parcela no esférica de objetos en 3D a lo largo de parámetro elegido líneas.
![Cone development & sphere Latitude/parallel Circle]()
Siguiente, las imágenes de Rumbo líneas o Loxodromes se presentan. Curvas suaves líneas están orientadas en ángulos $ \alpha= \pi/6,\pi/4,\pi/3 $ a una esfera de ecuador, de menor longitud para llegar a la pole para las pequeñas constante \alpha.$
Las relaciones representan su natural intrínseca de ecuaciones:
$$ R \kappa_g = \sin \alpha \, \tan ( \cos \alpha \, s/ R )$$
![Rhumb Line developments]()
cuyo nombre, si existe, no lo sé.
Llegamos a superficies no esféricas en 3D. Escribimos natural o intrínseco de la ecuación de una espiral de Cornu en un elipsoide y en un hyperboloid (misma curva en $ \mathbb R^2$, incrustado $ \mathbb R^3 $) y rodar en la forma que se indica en plano P. A efecto de transferencia de la espiral de la curva sobre el plano, utilizamos el mismo natural o intrínseco de la ecuación en los tres casos.
$$ \kappa_g = \frac{s}{a^2} $$
![enter image description here]()
Tres de sus preguntas sean respondidas. Para la cuarta, la respuesta es sí.
Intrínseca de la ecuación tiene estos dos parámetros escalares$\kappa_g,s$ dependiendo sólo sobre los coeficientes de la primera forma fundamental. En consecuencia Intrínseca de ecuaciones de flexión/isometría invariante.
tenemos que tomar las condiciones de contorno para integrar el arco geodésico de la curvatura natural de la educación a distancia con el fin de fijar la posición en el espacio Euclidiano.Intrínseca de la ecuación se dice para determinar la curva sólo hasta Euclidiana de los movimientos de la posición y la orientación. De hecho, las imágenes de arriba son de hecho de tomar ventaja de estos dos grados de libertad.
Respondiendo a tus preguntas en los comentarios:
1) La "bola" que usted menciona.. me han dicho que significa en un sentido genérico. Es por eso que yo había incluido incluso un hyperboloid de la revolución de los extremadamente negativa de la curvatura de Gauss $K.$ por Favor vea mi respuesta actualizada en ese enlace.
2) he utilizado junto ecuaciones, una para la curvatura intrínseca y de otros utilizando la curvatura normal o lo que quieras para generar una superficie de definición. Mientras que la integración de elegir, ya sea en 3D o un plano, es decir, programas separados para 3D y para el avión.
3) y 4) No hay necesidad de cambiar la rigidez de la propiedad de la bola rodante o cambiar la curvatura de la avión! La curva y la tierra traza la forma de un doble par. Si uno se da, entonces el otro es conocido a través de go-entre intrínseca de la ecuación.
5) Hay muchos. Supongo que el libro por el autor D. J. Struik es clásica por ahora. Usted tiene una imaginación fuerte en la geometría 3D. Así que no te pierdas el libro "la Geometría y la Imaginación" de David Hilbert y Cohn-Vossen.
Podemos interactuar aún más después de un mes o así que si quieres, lo que permite tiempo para la DG de estudio, aprender de otras respuestas, y por supuesto ahora no prevalecerán sobre el mod hacia la sala de chat.. Buena suerte!
Un irregular de la bola tiene su radio local o la curvatura diferente a cualquier punto de la superficie. Tiene puro movimiento en el plano P. 
