Mi pensamiento era si gángster de brotes de gángster A B, entonces B de gángster también tomará A gangster ya que son los más cercanos juntos, formando un par. Ya que 55 es impar, entonces uno debe sobrevivir ya que 55 es 1 mod 2.
Respuestas
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El par de gángsters con menor distancia de pares va a tirar unos a otros. Si algunos otros gangster tira cualquiera de esos dos, habrá más $52$ balas destinadas al % restante $53$mafiosos, y por lo tanto al menos uno sobrevivirá.
Si no otro gángster tira cualquiera de esos dos, el problema se reduce al caso de $53$ gangsters y procedemos por inducción. En este punto, se reduce a comprobar que el caso de $3$ mafiosos siempre termina con uno vivo.
clark
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5754
Se argumenta por la contradicción. Asuma que todo el mundo murió.
Nadie puede disparar a la misma persona dos veces, ya que sólo hay 55 balas y 55 personas para matar.
Así, WLOG$^{\ast}$,por renumeración $g_1$ dispara $g_2$, $g_2$ dispara $g_3$, ..., $g_{55}$ dispara $g_1$.
$^\ast$N. S. observó que existen pueden ser diferentes de los componentes conectados, sin embargo desde $55$ es extraño que uno de ellos debe de longitud de al menos 3 o 1.
Denotar $l_i$ la distancia entre el $g_i$ $g_{i+1}$ $1\leq i\leq 54$ $l_{55}$ la distancia entre el$g_{55}$$g_1$.
Observe que $l_1>l_2$ desde $g_2$ dispara $g_3$ e no $g_1$. Del mismo modo $l_i>l_{i+1}$, lo que conduce a una contradicción ya que el $l_1>l_{54}>l_{55}$$l_{55}>l_1$.
David C. Ullrich
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Decir $G$ es el conjunto de gansters. Definir $s:G\to G$ diciendo que $g$ dispara $s(g)$. Debemos mostrarles a $g $ no es surjective.
Supongamos $g$ es surjective. Desde $G$ es finito se sigue que $g$ es inyectiva.
Y desde $s$ es un bijection, el simple argumento inductivo en el borrado de respuesta obras: Decir $d(g_1,g_2)$ es la menor distancia. Ellos $s(g_1)=g_2$$s(g_2)=g_1$. Desde $s$ es un bijection en $G$ se sigue que $s$ mapas de $G'=G\setminus\{g_1,g_2\}$ a sí mismo. (Este último punto no fue claro en el borrado de respuesta, que es probablemente por qué fue eliminado.) Se sigue por la inducción que existe $g$$s(g)=g$.
Por supuesto, si cada uno de los gángsters, literalmente, dispara el más cercano gagnster, a continuación, $s(g)=g$ todos los $g$. Pero claramente lo que se pretende es que cada gangster dispara el más cercano de otro mafioso, en cuyo caso $s(g)=g$ iis una contradicción.
Lissome
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31
Sugerencia
Para cada gangster $g_i$ definir $$M_i= \min \{ d(g_i, g_j) \mid j \neq i \}$$
Desde todas las distancias son diferentes, $M= \max \{ M_i \}$ es exactamente una de estas distancias, y por lo tanto puede ser alcanzado más de dos veces.
Caso 1: $M$ es alcanzado exactamente una vez. Deje $i$ ser el punto donde se alcanza. Mostrar que $g_i$ sobrevive.
Caso 2: $M$ es alcanzado exactamente dos veces. Deje $i,j$ ser los puntos donde se alcanza, es decir,$M_i=M_j=M$.
Mostrar que $g_i$ dispara $g_j$, $g_j$ dispara $g_i$ y ningún otro $g_k$ dispara bien $g_i$ o $g_j$.
Por lo tanto el problema se reduce a 53 gangsters disparar el más cercano gangster para ellos, donde todas las distancias entre ellos son diferentes. Como se observa, el número que se extraña es la clave de esta reducción (es decir, la inducción de más de $n$ impar).
Student28
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6
Como se nos da un número impar 55 por lo tanto, podemos probar por tomar cualquier número impar. Tomemos 5 para una fácil comprensión.
Por lo tanto, tenemos 5 gangsters y son a, B, C, D y E.
Paso 1 : Si dispara B y C dispara D entonces, nos quedamos con 3 gangsters a, C y E.
Paso 2: Ahora es el turno de E. Como no nos D no es así, E es la más cercana a C, y va a disparar C. Ahora nos hemos quedado con Una y E.
Paso 3 : Hay nadie entre a y E, así que si Una de brotes E, a continuación, Una de sobrevivir.
Así, cada uno de los 5 a los mafiosos disparar su más cercano gangster y uno sobrevivió.
Similar es el caso de los 55 a los mafiosos porque de 55 años, es también un número impar, y si todos 55 los mafiosos disparar su más cercano gangster entonces, uno va a sobrevivir.
