Podemos utilizar la inducción para demostrar que un enunciado $P(n)$ es cierto para todos los $n \in \mathbb{N} $ tal que $n \leq s$ donde $s \in \mathbb{N}$? Específicamente, en el segundo paso de inducción, es suficiente para demostrar que
$$P(n) \implies P(n+1),$$
asumiendo $n<s$$n+1 \leq s$?
Sí, en el sentido de que probará la reclamación. Aunque es importante entender que tal escenario no es una prueba por inducción, ya que no requiere invocar el director de inducción con el fin de demostrar tal afirmación. El director de la inducción se lleva a las reivindicaciones $P(1)$ $P(n)\implies P(n+1)$ todos los $n\ge 1$, lo cual es una receta para una infinidad de pruebas, una para cada una de las $n$, y acepta que la receta para una infinidad de pruebas que constituye en realidad una sola finito prueba. En el caso de que usted está considerando, mientras que técnicamente similares, es diferente. Aquí puede establecer que el $P(1)$ y $P(n)\implies P(n+1)$ todos los $1\le n< s$. Esta es una receta para la creación de una única prueba, que de $P(n)$ todos los $1\le n\le s$. Para el $s$ es dado, sólo sabemos cómo construir una prueba de $P(s)$, es decir, $P(1)$ es cierto. Desde $P(1)\implies P(2)$, se deduce que el $P(2)$ es cierto, y así sucesivamente. El "y así sucesivamente" aquí sólo se esconde una porción finita de la prueba, por lo que se corto la mano. En el real de la prueba por inducción de tal "y así sucesivamente" oculta una parte de la prueba de longitud variable, dependiendo de la $n$ siendo considerado. El último es estrictamente una fuerte principal de la antigua.
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