Demostrar que $R$ es un anillo de división.

Question

Estoy teniendo problemas al intentar saber si mi prueba es malo o no. El problema dice:

Deje $R$ un anillo con 1, no es necesario conmutativa, tal que para cada a $a\in R\setminus\{0\}$ existe $b\in R\setminus\{0\}$ (que depende de la $a$) tal que $a\cdot b=1$. Demostrar que $R$ es un anillo de división.

Tengo casi todo para demostrar que es un anillo de división, creo que sólo se pierda la parte que $b\cdot a=1$, lo que he hecho hasta ahora es la siguiente:

Tenemos $ab=1$, por lo que multiplicando $b$ en el lado izquierdo tenemos $$b\cdot a\cdot b=b\cdot 1$$ Desde $1$$1$$R$, obtenemos: $$b\cdot a\cdot b=1\cdot b$$ (esta es la parte no estoy seguro) ya que estamos en un grupo, podemos cancelar $b$ en el lado izquierdo $$a\cdot b=1$$ y hemos terminado?

Answer 1

Si la única parte que te falta es mostrar que $ab = 1 \Rightarrow ba = 1$, a continuación, proceda de la siguiente manera:

$$ab = 1 \Rightarrow bab = b $$

Ahora, porque de la declaración, $b$ tiene un derecho inversa, $c $:

$$babc = bc \Rightarrow ba = 1$$

Y hemos terminado.

@Alex Wertheim, también nos proporciona un enfoque diferente en la sección de comentarios. Asegúrese de verificar.

Answer 2

Todo lo que usted necesita para mostrar es que también existe una izquierda inversa, donde para todo distinto de cero $a$, existe un $b$, de modo que $ba=1$. Bueno, casi lo tenía, el primer paso estaba bien, y la idea de "cancelar" la $b$ era la correcta, así, usted sólo tiene que utilizar la hipótesis de $b$ así:

deje $a$ ser distinto de cero.

Entonces existe algún $b$, de modo que $ab=1$. Pero, a continuación,$bab=1 \cdot b$. Desde $b$ también es distinto de cero, existe alguna $c$, de modo que $bc=1$. Por lo tanto $$babc=1 \cdot bc \implies ba=1.$$

Answer 3

Creo que el punto es que el $a$ $b$ no son cero, cero-divisores. De ahí a cancelar $b$, simplemente multiplique $a$ desde la izquierda para ambos lados. Sin embargo, este problema está pidiendo a probar $R$ es un anillo de división. Para mí, para cada elemento distinto de cero en $R$ tiene un inverso multiplicativo ya ha sido la definición. No veo qué tiene que demostrar.