Soliton Módulos de Espacios y Homotopy Teoría

Question

Las cuatro dimensiones de la $SU(N)$ Yang-Mills de Lagrange es dado por $$\mathcal{L}=\frac{1}{2e^2}\mathrm{Tr}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$$

y da lugar a la Euclidiana ecuaciones de movimiento $\mathcal{D}_\mu F^{\mu\nu}=0$ con la derivada covariante $\mathcal{D}_\mu$. Finito de acción de las soluciones de $A_\mu$ satisfacer la condición de que,

$$A \to ig^{-1}\partial_\mu g$$

a medida que nos acercamos $\partial \mathbb{R}^4 \cong \mathbb{S}^3_{\infty}$, $g$ un elemento de $SU(N)$. Estos proporcionan un mapa de$\mathbb{S}^3_\infty$$SU(N)$, y se clasifican por homotopy teoría. En Tong notas de la conferencia en solitones, afirma sin pruebas que la segunda clase de Chern, o Pontryagin número $k \in \mathbb{Z}$ está dado por

$$k = \frac{1}{24\pi^2}\int_{S^3_\infty}\mathrm{d}S^3_\mu \, \, \mathrm{Tr} \,(\partial_\nu g)g^{-1}(\partial_\rho g)g^{-1} (\partial_\sigma g)g^{-1}\epsilon^{\mu \nu \rho \sigma}$$

Como yo los entiendo, clases de Chern son característicos de las clases de bultos en los colectores; en este caso lo bundle y el colector es $k$ asociado con? ¿Cómo se obtiene $k$ en este caso? Tong los estados", El entero... cuenta de cómo muchas veces el grupo se envuelve alrededor espacial $\mathbb{S}^3_\infty$."

Además, Tong estados sin una rigurosa prueba de la métrica del espacio de moduli (el espacio de todas las soluciones a las ecuaciones de movimiento que son auto-dual):

$$g_{\alpha \beta} = \frac{1}{2e^2} \int \mathrm{d}^4 x \mathrm{Tr} \, \, (\delta_\alpha A_\mu)(\delta_\beta A_\mu)$$

con $\delta_\alpha A_\mu = \partial A_\mu / \partial X^{\alpha} + \mathcal{D}_\mu \Omega_\alpha$ donde $\Omega_\alpha$ es una transformación infinitesimal, y $X^{\alpha}$ son el colectivo de coordenadas. ¿Cómo se hace el cálculo de dicho métrica de un espacio de moduli? ¿Por qué debería ser dada por la suma de todos cero modos?

Yo preferiría una respuesta en la que utiliza los argumentos de la geometría diferencial y topología. Recurso de recomendaciones que son más rigurosos o explícita, también sería apreciada.

Answer 1

Primero me referiré a Eric de Weinberg libro donde el instanton espacio de moduli se describe en más detalle.

Principales paquetes de más de 4 dimensiones de Riemann colectores están clasificados por la segunda clase de Chern = Instanton número y la t Hooft discretos Abelian flujos magnéticos. Por favor, consulte las siguientes notas de la Conferencia por Måns Henningson.

t Hooft flujos están presentes sólo cuando el grupo gauge tiene un trivial centro, por lo que en el caso de $SU(N)$, la clasificación es de acuerdo a la instanton números.

Un compactified espacio de Minkowski, puede ser considerado como una de cuatro dimensiones de la bola de $B^4$, con el límite de puntos ( en el infinito) $S^3$ identificado. Por lo tanto, por el teorema de Stokes, la instanton número está dado por:

$$ k = \int_{B^4}*F \wedge F =\int_{B^4}dCS(A) = \int_{S^3_{\infty}} CS(A) = \int_{S^3_{\infty}} WZW(g) $$

Donde $CS(A)$ $WZW(g)$ son de Chern-Simons y el Wess-Zumino-Novikov-Witten funcionales, respectivamente, y el último paso se deriva de la sustitución de la pura indicador de condición en el infinito.

La geometría local del espacio de moduli puede ser entendido de la siguiente manera: El instanton soluciones son de la forma:$ A_{\mu} = A_{\mu}(X^\alpha)$ donde $X^\alpha$ son las coordenadas del espacio de moduli. Estas soluciones son mínimos locales de la acción, para todos los valores de las constantes de los módulos, pero la acción no es extremal cuando estas coordenadas están hechas a depender del tiempo. Esta dependencia del tiempo se introdujo el estudio de la dinámica de los módulos cerca de la solución clásica.

La diferencia entre la acción con el tiempo diferentes módulos y el tiempo invariante es debido a la dependencia del tiempo de los módulos de coordenadas, suponiendo que el tiempo de los derivados son pequeñas(es decir, sustituyendo $X^{\alpha}= X_0^{\alpha} + t \dot{X}_0^{\alpha}$, los principales términos que tienen la menor cantidad de tiempo derivados de esta forma la variada acción debe tener la forma:

$$ I = \frac{1}{2g^2} \int d^4x F_{\mu\nu}(A) F^{\mu\nu}(A) = \frac{8\pi^2}{g^2} k + \int dt B_{\alpha}(X)\dot{X}^{\alpha} +g_{\alpha \beta}(X)\dot{X}^{\alpha}\dot{X}^{\beta} + ...$$

Donde el último paso se obtiene después de la integración de los "conocidos" solución a través de las coordenadas espaciales.

Esta acción tiene la forma de una partícula que se mueve sobre una de Riemann colector de tener una métrica $g$ en un campo magnético $B$. El exterior de la derivada del campo magnético puede ser interpretado como la estructura simpléctica del espacio de moduli. La forma de la métrica tomadas por David Tong dará exactamente la misma métrica, ya que, los principales términos en los módulos de tiempo de los derivados del Yang de los Molinos de acción incluirá un tiempo de derivados, por lo tanto nos quedamos con la variación de la medida de los campos de sí mismos.

Esta es sólo la estructura local del espacio de moduli. Este análisis no nos dice, por ejemplo, si la estructura simpléctica es exacta o cerrado. Por supuesto, la estructura global del espacio de moduli requiere un análisis más profundo.

Una propiedad global que puede ser "relativamente" fácil de calcular, es el espacio de moduli dimensión, incluso si una simple forma cerrada de la solución no está disponible: La dimensión es el número de perturbación $A_{\mu}+a_{\mu}$ de un auto de doble solución de $A_{\mu}$ que es también la doble modulo de calibre las transformaciones. Insertar el medidor de potencial en el auto de la dualidad ecuación, La siguiente condición se obtiene (Weinberg ecuación 10.112):

$$ \eta^{\mu \nu} D_{A \mu} a_{\nu} = 0$$

donde $D_{A}$ es la derivada covariante de la solución clásica, y $ \eta^{\mu \nu} $ es un auto de doble matriz definida en Weinberg (ecuación 10.74). Para quitar el puro calibre dirección, existe otra ortogonalidad de la condición de puro calibre direcciones:

$$D_{A\mu} a^{\mu} = 0$$.

Estas dos condiciones pueden ser combinados en un solo Dirac ecuación:

$$\not{D}_{A} \Psi = 0$$.

donde, la relación entre el medidor de campo de la perturbación y la spinor $\Psi$ está dado por: $a_{\mu} = \sigma_{\mu}^{\alpha \dot{\alpha}} \Psi_{\alpha \dot{\alpha}}$

Esta construcción se convierte el problema de contar el número de módulos para contar el número de una ecuación de Dirac cero modos. Para la ecuación de Dirac, el número de cero modos está dada por la Atiyah-Singer índice teorema.