Binomio de Expansión, Series de Taylor y de Alimentación de Conexión en Serie

Question

1) ¿hay una razón por la que el binomio de expansión de $(a+x)^n$ es el mismo como una serie de Taylor, la aproximación de las $(a+x)^n$ centrada en cero?

2) El binomio de expansión de $(a+x)^n$ es

$a^n + na^{n-1}x + \frac{n(n-1)}{2!}a^{n-2}x^2 +$....

Si la expansión se escriben de esta manera, a continuación, $n$ puede ser un número entero (positivo o negativo), o una fracción? Si el binomio de expansión está escrito en notación de sumatoria uso de nCr, entonces n sólo puede ser positivo porque nCr puede tener un efecto negativo $n$?

3) Para la expansión de la $(a+x)^n$ me dio en la pregunta 2, no $a$ ser $a = 1$$-1 < x < 1$? ¿Cuáles son estas restricciones?

Actualización : Una infinita serie geométrica converge cuando la razón común, $x$ en este caso, está entre -1 y 1. La infinita expansión binomial me escribió en la pregunta 2 es válido para la expansión de $(a+x)^n$ al $-1 < x < 1$. Así que si pongo $x = 0.5$ a $(a+x)^n$ para un determinado $n$ y $a$, $(a+0.5)^n$ y la infinita expansión de $x = 0.5$ va a dar la misma respuesta. Si utilizo $x = 40$, la expansión de la divergen y no dar la misma respuesta que la función original de $(a+40)^n$. ¿Significa esto que el binomio de expansión es en realidad un de potencia de la serie (una serie geométrica es un caso especial de poder de la serie)? Y qué $a$ necesitan ser 1 para el $-1 < x < 1$ a de ser necesario? O es necesario, independientemente de lo $a$ es?

Answer 1

1) tienen la misma función, por lo que tienen la misma potencia de la serie.

2) En esta respuesta, se muestra que para la generalizada del teorema del binomio, tenemos para exponentes negativos, $$ \binom {n}{k}=(-1)^k\binom{n+k-1}{k} $$ Por lo tanto, hemos $$ \begin{align} (a+x)^{-3} &=a^{-3}\left(1+\frac xa\right)^{-3}\\ &=a^{-3}\sum_{k=0}^\infty\binom{-3}{k}\left(\frac xa\right)^k\\ &=a^{-3}\sum_{k=0}^\infty\binom{k+2}{k}\left(\frac xa\right)^k\\ &=\sum_{k=0}^\infty\binom{k+2}{2}\frac{x^k}{a^{k+3}}\\ \end{align} $$ Se puede hacer lo mismo para las fracciones de los exponentes, pero las fórmulas para los coeficientes son más complicadas.

3) En la respuesta a la 2), se incluye el $a^{-3}$, de modo que uno de los términos de la suma se $1$. Esto nos permite utilizar el teorema del binomio en una forma abierta; esto es, que no necesita preocuparse acerca de lo que el exponente de a $n-k$ tiene que ser. En particular, la generalizada del teorema del binomio lee $$ (1+x)^n=\sum_{k=0}^\infty\binom{n}{k}x^k $$ donde $$ \binom{n}{k}=\frac{n(n-1)(n-2)\dots(n-k+1)}{k!} $$ Además, si $n$ no es un entero no negativo, el binomio de expansión no termina. En ese caso, la serie de $$ (a+x)^n=a^n\left(1+\frac xa\right)^n $$ converge para $|x|\lt|a|$.

Answer 2

Has oído hablar de Newton generalizada teorema del binomio por casualidad?