Demostrar que $\mathbb{Q}$ no es proyectiva mediante el Hom functor

Question

Soy consciente de forma más directa pruebas de esto en este sitio, pero estoy buscando una prueba a lo largo de las siguientes líneas:

Encontrar un epimorphism $f:A \to B$ tal que $Hom(\mathbb{Q},A) \to Hom(\mathbb{Q},B)$ no es un epimorphism. Por lo tanto la de arriba Hom functor no es exacta y $\mathbb{Q}$ no es proyectiva. Estoy pensando que debo utilizar el hecho de que $Hom(\mathbb{Q},\mathbb{Z})=0$.

Answer 1

Esta es la persistencia de la de el Señor de los Tiburones respuesta. No podría ser satisfecho con esta prueba, porque tienes que elegir... no Obstante...,

Prueba: Elegir un set de generación de energía $S$ $\mathbb Q$ $\mathbb Z$- módulo (por ejemplo, $S = \mathbb Q$ trabaja, pero hay (creo) conjuntos más pequeños que usted puede elegir). Tome $A$ a ser el libre abelian grupo con $\mathbb Z$base $S$, lo $A \cong \bigoplus_{s \in S} \mathbb Z$, y tome $B = \mathbb Q$; desde $S$ genera $\mathbb Q$, hay un surjective $\mathbb Z$-módulo homomorphism $A \to \mathbb Q$. Ahora $$Hom(\mathbb Q, A) \cong Hom(\mathbb Q, \bigoplus_{s\in S}\mathbb Z) \cong \bigoplus_{s \in S}Hom(\mathbb Q, \mathbb Z) = \bigoplus_{s \in S} 0 = 0$$ where the second isomorphism is from a basic fact that $Hom(-, -)$ desplazamientos directo con sumas en la segunda ranura; y la segunda a la última igualdad es por el hecho de OP declaró.

Por otro lado $Hom(\mathbb Q, \mathbb Q) \neq 0$ ya que contiene el mapa de identidad, por ejemplo. $\square$

Answer 2

Usted puede tomar $A$ a ser un libre Abelian grupo y $B$$\Bbb Q$.