Hemos sido desafiados con un $\epsilon$, quizás $\epsilon=1/1000$. Queremos llegar con un $\delta$ que si $|x-2|\lt \delta$, para asegurarse de $|x^2+3x-10|\lt \epsilon$.
Supongamos que después de algunos cálculos, anunciamos que a $\delta=\epsilon/8$ que hace el trabajo. Luego triunfalmente la empresa podría decir que ella había $\epsilon=47$ en mente, y que en ese caso $\delta=47/8$ es insuficiente. Por supuesto, eso no es jugar limpio. Pero bien podría venir para arriba con un $\delta=\delta(\epsilon)$ que siempre funciona.
Algunos de álgebra muestra que $x^2+3x-10=(x-2)^2+7(x-2)$. Así que queremos asegurarnos de que $|(x-2)^2+7(x-2)|\lt \epsilon$. Tenga en cuenta que
$$|(x-2)^2+7(x-2)|\le (x-2)^2+7|x-2|.$$
Queremos hacer de la mano derecha "pequeña", por la elección de $x$ adecuadamente cerca de $2$. Supongamos que se había dado un ridículo $\epsilon$, como $47$. Si $x$ está dentro de$47$$2$, el número de $(x-2)^2$ podría ser muy grande. Así que la primera tarea es asegurarse de $\delta$ es lo suficientemente pequeño como para no permitir $(x-2)^2$ a ser grandes.
Así que podemos decir primero de todo, vamos a $\delta\le 1$. Entonces si $|x-2|\lt \delta$, se deduce que el $(x-2)^2\lt \delta$. Para $(x-2)^2=(x-2)(x-2)$. La "primera" $x-2$ tiene valor absoluto $\le 1$, y el segundo tiene valor absoluto $|x-2|$, por lo que el producto tiene valor absoluto $\le |x-2|$.
De ello se sigue que mientras $\delta\le 1$,$(x-2)^2+7|x-2|\le 8|x-2|$. Para asegurarse de que esto es $\lt \epsilon$, es suficiente para hacer la $\delta=\frac{1}{8}\epsilon$.
Sin embargo, en la obtención de nuestro simplificado de la desigualdad, se supone que $\delta\le 1$. Así que sabemos que todo va a funcionar si $\delta=\min(1,\epsilon/8)$.
Podría haber sido mejor para observar que
$$(x-2)^2+7|x-2|=|x-2|\left(|x-2|+7\right).$$
Entonces es claro que si $|x-2|\le 1$,$(x-2)^2+7|x-2|\le 8|x-2|$.
