¿Por qué no es uniformemente convergente en $f_n(x) = x^n$ $(0, 1)$?

Question

Definición de convergencia uniforme:

Para todos los $\epsilon > 0$, existe un $N \in \mathbb{N}$ tal que $d(f_n(x), f(x)) < \epsilon$ todos los $n > N \in \mathbb{N}$ y todos los $x \in (0,1)$.

Es fácil ver que para todos los $x$, $f_n(x) \to 0$ en $(0, 1)$, lo que significa que $f_n$ es pointwise convergente, pero desde $f_n$ converge pointwise a $0$ todos los $x$, no veo ninguna contra-ejemplos que podemos tomar $x$ a estar en orden para $f_n$ a converger a cualquier otro límite, además de a $0$. Yo también no veo cómo podemos usar la definición para demostrar que $f_n$ no es uniformemente convergente. En este caso, ¿qué debo hacer?

Answer 1

Sugerencia. Ha $$\sup_{x\in(0,1)}f_n(x)=1.$$

Answer 2

Tenga en cuenta que $\lim_{x\to1} f_n(x) = 1$ todos los $n$. Esto rompe la convergencia uniforme porque podemos estar lo suficientemente cerca como para $1$ tal que $f_N(x) > \frac12$ fijos $N$.

Answer 3

Sugerencia Si $x_n =1-\frac{1}{n}$$f_n(x_n) \to \frac{1}{e}$.

El uso de este contradecir $d(f_n(x_n), f(x_n))<\epsilon$.

Answer 4

Lo exponente es necesario para $(.9)^n$ a menos de $.1$? Respuesta: $$n > \ln(.1) / \ln(.9) $$

Lo exponente es necesario para $(.99)^n$ a menos de $.1$? Respuesta: $$n > \ln(.1) / \ln(.99) $$

Lo exponente es necesario para $(.999)^n$ a menos de $.1$? Respuesta: $$n > \ln(.1) / \ln(.999) $$

¿Cuál es el límite de estos exponentes $n$ como el número de $9$'s aumenta a $+\infty$? Respuesta: $$\lim \, n = \lim_{x \to 1^-} \ln(.1) / \ln(x) = +\infty $$

Por lo tanto, la secuencia de funciones de $f_n(x) = x^n$ no converge uniformemente a cero en el intervalo de $(0,1)$.

Answer 5

Podemos ver esto directamente. Si fueron uniformemente convergente (a $0$), para cualquier $\varepsilon>0$, podríamos encontrar $N_0$ tal que $0<x^n<\varepsilon$ todos los $n\ge N_0$ y todos los $x\in(0,1)$. En particular, $x^{N_0}<\varepsilon$, que es el mismo que $\,0<x<\varepsilon^{\frac1{N_0}}$ todos los $x\in(0,1)$. Que es imposible.