Considerar la categoría de $\mathsf{NormVect}_1$ normativa de espacios vectoriales con corto lineal mapas de$^{\dagger}$ y el total de la subcategoría $\mathsf{Ban}_1$ de los espacios de Banach con corto lineal mapas. Ambas categorías están completas, cocomplete, y han cerrado monoidal simétrica estructura, dada por la proyectiva producto tensor (ver aquí). El olvidadizo functor $\mathsf{Ban}_1 \to \mathsf{NormVect}_1$ es continua (pero no cocontinuous), de hecho tiene un adjunto a la izquierda (que es monoidal simétrica), la finalización de Cauchy.
Pregunta. Puede que el nombre de una categórica de la propiedad de $\mathsf{Ban}_1$, lo que es útil en la práctica, pero que no es satisfecho por $\mathsf{NormVect}_1$?
Antecedentes: Existe una rama llamada categórica espacio de Banach teoría, y realmente me pregunto por qué no se tiene en cuenta la categoría mayor de toda la normativa espacios vectoriales de alguna manera, como una primera aproximación. En el análisis funcional es bien sabido que (y por qué) los espacios de Banach son más útiles que la normativa espacios vectoriales. Me gustaría saber si o por qué esto es cierto también para las categorías correspondientes.
$^{\dagger}$ Aviso que el subíndice $1$ indica que nos limitamos a corto lineal de los mapas, que es muy importante para tener el mencionado categórica propiedades. Para mí, la moraleja de esta opción es que si uso continuo lineal de los mapas, no se toma el conjunto de la estructura de los objetos en cuenta, que tiende a ser malo.
