Ayuda con la complicada ecuación funcional

Question

Problema: Vamos A $T=\{(p,q,r)\mid p,q,r \in \mathbb{Z}_{\geq0}\}$. Encontrar todas las funciones $f:T\to \mathbb{R}$ tal forma que: $$f(p,q,r)=\\ =\begin{cases} 0, & \text{ if } pqr = 0 \\ 1 + \frac{1}{6}\left(f(p+1,q-1,r)+f(p+1,q,r-1)+f(p,q+1,r-1)+\\ \;\;\;\;\;\; f(p,q-1,r+1)+f(p-1,q+1,r)+f(p-1,q,r+1)\right) & \text{ otherwise.} \end{casos}$$

Los avances logrados hasta ahora: no Es difícil ver que $f$ es simétrica en $p,q,r$, que es útil conocer. A partir de la definición recursiva también se puede inferir que el $f:T\to \Bbb{Q}^+$, por lo que no funciones trigonométricas o registros. Eso es todo lo que se podía observar desde el principio. He intentado calcular algunos valores de $f$ tener una idea de cómo las funciones se parecen (si hay alguna), pero teniendo problemas para calcular incluso los pequeños valores de $f$, por ejemplo, $f(1,2,3)$ o $f(2,2,2)$. Todo lo que sé es que $f(0,a,b)=0$$f(1,1,1)=1$. Imagino una solución basada en mis observaciones iniciales, pero no puedo ver ninguna candidatos obvios.

Se agradece cualquier ayuda, gracias.

Answer 1

Cuando he trabajado en este problema en el 2002, mostrando la singularidad fue muy fácil a través de la "media de los vecinos de la" observación (aunque en un inclinada hexagonal de la junta, en lugar de la regular tablero de ajedrez).

La prueba de la unicidad: Supongamos que tenemos 2 soluciones de $ f(p,q,r)$$ g(p,q,r)$. Deje $ h(p,q,r) = f(p,q,r) - g(p,q,r)$. Entonces, tenemos que

$$ 6 h(p,q,r) = h(p+1, q-1, r) + h(p-1, q+1, r) + h( p, q+1, r-1) + h( p, q-1, r+1) + h( p+1, q, r-1) + h(p-1, q, r+1). $$

Considere la posibilidad de que el avión $ p+q+r = N$. Oberve que los vecinos de la celda $(p,q,r)$ son estas 6 otras células con las coordenadas indicadas anteriormente. Por lo tanto, cada célula es el promedio de sus vecinos. A través del argumento estándar (principio extremal), esto implica que todas las celdas de esta finito de la junta son iguales.

También tenemos las condiciones de contorno que $h(p,q,r ) = 0$$pqr=0$, por lo tanto $h(p,q,r) = 0$. Por lo tanto, la función es única, $_\square$

Encontrar la solución era más difícil, pero todavía motivado por las condiciones.
Nota: es importante tener en cuenta que como una ('fácil') Olimpiada problema, que a menudo tiene una solución que puede ser motivado.

Encontrar la función: De la condición de contorno que $pqr=0 \Rightarrow f(p,q,r) = 0$, suponemos que la función inicial $ F( p,q,r) = pqr$.

Observar que, desde $ (p-1)(q+1) r + (p+1)(q-1)r = 2pqr - 2r$, por lo que esta conjetura nos da:

$ F(p,q,r) = \frac{ p+q+r} { 3} + \frac{1}{6} [ F(p-1, q+1, r) + F(p+1, q-1, r) + F(p, q-1, r+1), F(p, q+1, r-1) + F( p-1, q, r+1), F(p+1, q, r-1) ] $.

Observar que, desde $p+q+r$ es una constante para todos estos 7 términos, debemos mirar $$ f(p,q,r) = \frac{ F(p,q,r) } { \frac{p+q+r} {3} } = \frac{3 pqr} { p+q+r}.$$

De hecho, esto funciona. $_\square$

Nota: Si $F(p,q,r) = pqr$ no trabajó, la próxima supongo que habría sido de $ F(p,q,r) = p^2q^2r^2$

Answer 2

Achille Hui hizo la parte más difícil de la obra por descubrir el cerrado fórmula $\frac{3pqr}{p+q+r}$. El resto es una rutina de "máximo "el principio de argumento que explico a continuación.

Para un entero positivo $k$, vamos a $T_k$ ser el conjunto finito $\lbrace (p,q,r)\in T | p+q+r=k\rbrace$. Para $x=(p,q,r)\in T$, definir el vecindario $N(x)$ $x$

$$ \begin{array}{lcl} N(p,q,r)&=&\lbrace (p+1,q-1,r);(p+1,q,r-1);(p,q+1,r-1); \\ & & (p,q-1,r+1);(p-1,q+1,r);(p-1,q,r+1)\rbrace \end{array} \etiqueta{1} $$

y el estricto vecindario $N'(x)$ $x$ $\lbrace (u,v,w)\in N(x) | uvw>0\rbrace$. Decimos que $x\in T_k$ es interior si $N'(x)=N(x)$, y extremal de otra manera.

Deje $g(p,q,r)=f(p,q,r)-\frac{3pqr}{p+q+r}$$(p,q,r)\in T$. A continuación, $g$ satisface $g(p,q,r)=0$ si $pqr=0$, y

$$ 6 g(x)=\sum_{y\N'(x)}g(y) \etiqueta{2} $$

para cualquier $x\in T_k$ (tenga en cuenta que $N(x)$ $N'(x)$ estancia en $T_k$ al $x\in T_k$).

Ahora, vamos a $M$ ($m$) ser el máximo (mínimo) valor de $g$$T_k$. Hay algunos $x_M\in T_k$ tal que $g(x_M)=M$. Ahora podemos aplicar (2) a $x=x_M$, y obtener una fórmula (2').

Si $M > 0$, entonces (2') sólo es posible cuando la $x_M$ es interior y $g(y)=M$ para todos los $y\in N(x_M)$. Si ponemos $L=\lbrace x\in T_k | g(x)=M\rbrace$, podríamos deducir que $L$ se compone sólo de los puntos del interior, pero también satisface $N(x)\subseteq L$ cualquier $x\in L$, lo cual es imposible porque cuando nos alejamos de el interior de $T_k$ siempre estamos obligados a llegar finalmente extremal puntos.

Por lo $M\leq 0$. Un argumento similar (o si usted por favor, puede reutilizar el resultado mostrado en $-g$ en lugar de $g$) muestra que el $m\geq 0$.

Por lo $M\leq 0 \leq m$, pero en el otro lado $m\leq M$. Esto obliga a $m=M=0$, lo $g$ es idéntica a cero.

Para concluir, $\frac{3pqr}{p+q+r}$ es la única solución.