Maximizar $(s!)^\frac{n}{s}\frac{n}{s}!$

Question

Dejemos que $n>0$ sea un número entero compuesto.

Quiero maximizar $f(s,n)=(s!)^\frac{n}{s}(\frac{n}{s})!$ sobre todos los enteros $s\mid n$ con $1<s<n$ .

El resto de este post no es necesario leerlo, pero pone en antecedentes a quien le guste.

El trabajo hasta ahora:

La experimentación sugiere que tomar $s$ lo más grande posible (por ejemplo $n/2$ si $n$ es par) es suficiente, pero demostrarlo parece complicado, sobre todo porque $f(s,n)$ no es necesariamente creciente con $s$ (por ejemplo $f(2,1000)\approx 10^{1200}$ , $f(5,1000)\approx 10^{800}$ ).

Intenté maximizar $\log(f(s,n))=\frac{n}{s}\sum_{i=1}^s\log i\,\,\,+\,\,\sum_{i=1}^\frac{n}{s}\log i$ usando integrales para acotar las sumas, pero esto se volvió muy complicado (así que no lo incluiré aquí) y no puedo lograr que esto funcione.

Si alguien puede hacer que esto funcione o tiene una estrategia mejor, sería muy apreciado.

Motivación:

Dejemos que $G$ sea un subgrupo imprimible de $S_n$ con un bloque de orden $s$ . Es bien sabido que $G$ se incrusta en $S_s\wr S_{n/s}$ . $f(s,n)$ es el orden del producto de la corona $S_s\wr S_{n/s}$ . Por lo tanto, un valor máximo de $f(s,n)$ es un orden máximo de un grupo imprimible de grado $n$ .

Answer 1

Escribe $r = \frac{n}{s}$ por lo que queremos maximizar $g(r, n) = \left( \frac{n}{r} \right)!^r r!$ . La aproximación de Stirling da

$$\log g(r, n) \approx \left( n \log n - n \log r - n \right) + (r \log r - r)$$

y diferenciando con respecto a $r$ (así que aquí estamos resolviendo una relajación del problema donde permitimos $r$ para ser real) da

$$- \frac{n}{r} + \log r$$

de lo que se deduce que $g$ comienza siendo una función decreciente de $r$ y se acerca a un mínimo local alrededor de donde $n = r \log r$ , lo que da $r \approx \frac{n}{\log n}$ ; aumenta después de esto. Este es el único punto crítico, y queremos tomar un máximo, por lo que $r$ debe ser lo más grande o lo más pequeño posible.

Dejemos que $p$ sea el menor divisor primo de $n$ . Entonces sólo tenemos que considerar los casos $r = p$ y $r = \frac{n}{p}$ que corresponde a $s = p$ ; estas son las posibilidades más grandes y más pequeñas. Esto significa que también debemos escribir la aproximación de Stirling para $\log f(s, n)$ que querremos evaluar en $s = p$ que es

$$\log f(s, n) \approx (n \log s - n) + \left( \frac{n}{s} \log \frac{n}{s} - \frac{n}{s} \right).$$

Si $p$ es fijo y $n \to \infty$ entonces el término principal de $\log g(p, n)$ es $n \log n$ mientras que el término principal de $\log f(p, n)$ es $\frac{n}{p} \log n$ así que $g$ domina y queremos elegir $r = p$ . Si $p \approx C \log n$ entonces el término principal de $\log g(p, n)$ sigue siendo $n \log n$ mientras que el término principal de $\log f(p, n)$ es $n \log \log n$ así que $g$ sigue dominando. Y si $p$ es mayor que esto, entonces ambas opciones $r = p$ y $s = p$ se produce antes del mínimo local $r \approx \frac{n}{\log n}$ Así pues, permanezca en la región en la que $g$ es una función decreciente de $r$ Esto significa que siempre debemos elegir $r = p$ .