En una dimensión, la aceleración de una partícula puede ser escrita como:
$$a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \frac{dx}{dt} = v \frac{dv}{dx}$$
¿Esta ecuación implica que si:
$$v = 0$$
A continuación,
$$\Rightarrow a = 0$$
No puedo pensar en varias situaciones en las que una partícula tiene un no-aceleración de cero a pesar de estar en la instantánea resto. ¿Qué está pasando aquí?
La cosa correcta de decir sería que "si v=0 y dv/dx es finito entonces a=0".
Un ejemplo sencillo, para ayudar a ilustrar lo que está pasando, es el conocido caso de aceleración constante "g" cerca de la superficie de la tierra. En este ejemplo, consideramos que la "x" para estar a la altura sobre el suelo, y asumir la inicial de x es cero.
En este caso $$ x=-\frac{gt^2}{2}+v_0t $$ $$ v=v_0-gt $$ y $$ a=-g $$ y, claramente, "un" nunca puede ser cero, pero en "v" puede ser cero... así que ¿por qué? Bueno... la solución para t(x) da $$ t(x)=\frac{1}{g}(v_0\pm\sqrt{v_0^2-2gx}) $$ y $$ v(x)\equiv v(t(x))=\pm\sqrt{v_0^2-2gx} $$ y así $$ \frac{dv}{dx}=\frac{\pm g}{\sqrt{v_0^2-2gx}} $$ ...que está muy bien infinito cuando v es cero.
Por otra parte, creo que de una manera más natural de pensar acerca de este tema se puede encontrar mediante la consideración de lo que significa realmente por $$ v(x) $$ y cómo vamos a tomar la derivada de w.r.t. x.
Lo que realmente queremos decir es que, dado un poco de forma funcional para la "v" en función de "t" llamado "v(t)", y da un poco de forma funcional para la "x" en función de "t" llamado "x(t)", y dado que "x(t) puede ser invertida para encontrar "t(x)", entonces, como se mencionó anteriormente $$ v(x)=v(t(x))\;, $$ el que es tonto físico de la notación. Es claramente tonto notación debido a la "v()" en el lado izquierdo de la realidad no puede tener la misma forma que la "v()" en el lado derecho. Eso está claro, ¿verdad? Así que realmente vamos a llamar a $\tilde v$. I. e., $$ \tilde v(x)=v(t(x)) $$ Esta función $\tilde v$ es una función de x y la derivada con respecto a x es $$ \frac{d\tilde v}{dx}(x)=\frac{dv}{dt}(t(x))\frac{dt}{dx}=\frac{\frac{dv}{dt}(t(x))}{\frac{dx}{dt}}=\frac{a(t(x))}{v(t(x))} $$ I. e., (volver a la tonta de la notación y no escribir los argumentos de las funciones) $$ \frac{dv}{dx}=\frac{a}{v}\;, $$ así que, claramente, por una constante, dv/dx es infinita cuando v=0.
No, esto no implica que el $a = 0$.
Si, en algún valor $t = t_0$, la aceleración no es cero, mientras que la velocidad es cero, la función de posición es un mínimo o un máximo. Es decir, $x(t)$ es estacionaria allí:
$$x(t_0 + dt) = x(t_0)$$
lo que significa que al $t = t_0$
$$\frac{dx}{d\dot x} = \frac{dx}{dv} = 0$$
por lo tanto $\frac{dv}{dx}$ es indefinido en $t = t_0$.
Puede aplicar la regla de la cadena si $v$ es diferenciable wrt $x$ $x$ es diferenciable wrt $t$. Creo que no hay otras condiciones,como este post en MathSE parece decir, http://math.stackexchange.com/questions/688152/necessary-conditions-for-the-chain-rule-of-differentiation-to-be-valid#=
y esta condición no está siempre disponible. Al $v=0$,asegúrese de $\frac{dv}{dx}$ existen.
Post relacionado:Cuando se puede escribir $a=v \cdot dv/dx$?
Quiero tomar otro punto de vista que el de las otras respuestas. Esta será una gran handwave en lugar de un riguroso argumento matemático, pero espero que se presenta la idea a través de una forma intuitiva.
En primer lugar, como he dicho en un comentario, y como hft notas, que son el uso de la "v" significa tanto "la velocidad como una función del tiempo" y "la velocidad como una función de la posición". Que confuso, pero no hay problema fundamental que hay. Excepto...
Excepto que sus matemáticas depende de ser capaz de diferenciar la velocidad con respecto a la posición. Esto requiere que la velocidad de ser en realidad una función de la posición.
Bajo qué circunstancias puede una dimensión de la velocidad de ser en realidad una función de la posición? Debe haber exactamente una velocidad para cada posición. ¿Qué implica esto acerca de nuestra velocidad? Que nunca debe cambiar de signo! Porque si se hace el cambio de signo, a continuación, nuestra partícula es, a veces, ir hacia adelante y, a veces, ir hacia atrás, y por lo tanto no debe ser una posición que es atravesado tanto hacia atrás y hacia adelante, y por lo tanto la velocidad no sería una función de la posición.
Así que sin pérdida de generalidad, supongamos que la velocidad nunca es negativo. También vamos a suponer que la posición, la velocidad y la aceleración son funciones continuas y diferenciables y todas esas cosas buenas.
Ahora vamos a pensar en el aspecto físico de esta situación con respecto a la aceleración.
Supongamos que la velocidad es positiva y la aceleración es cero o positivo.
La partícula es el exceso de velocidad fuera para el lado derecho, su posición es cada vez más y más positivo, más rápido todo el tiempo si la aceleración es positiva, y no más lento si es cero. Claramente la velocidad nunca será cero si esto continúa.
Así que vamos a suponer que la velocidad es positiva y la aceleración es negativa. Nuestra partícula es cada vez más lento y más lento. Siempre se mueve a la derecha, la mente, porque por supuesto de la velocidad es una función de la posición. Pero cada vez más lento y más lento a medida que se va.
Ahora, supongamos que se vuelve más lento y más lento y más lento, pero nunca llega a cero la velocidad en cualquier momento. No hay ningún problema. La aceleración tiene para acercarse a cero, pero ni la aceleración ni la velocidad de llegar a cero.
OK, así que hemos eliminado un montón de casos de consideración: el caso en que la aceleración es cero y la velocidad no cambia nunca, el caso donde la aceleración es positiva y la velocidad nunca se hace más pequeño, y el caso en que la aceleración es negativa y la velocidad se acerca más y más a cero, pero nunca lo consigue. Nosotros sólo nos preocupamos de situaciones donde la velocidad se pone a cero.
Ahora vamos a considerar el caso en que la velocidad que comienza como positivo, la aceleración es negativa, y la velocidad se pone a cero en algún momento como un resultado. Lo que tiene que pasar a la aceleración en el punto donde la velocidad se hace cero? La aceleración no puede ser negativo en ese punto, porque si lo fuera entonces la partícula se empiece a moverse hacia atrás y sabemos que no lo hace. La aceleración tiene que ser cero en ese punto o positivo.
Suponga que la aceleración es positiva en el momento en el que la velocidad es cero. Claramente fue negativos antes de que la velocidad se convirtió en cero; no podríamos haber reducido a cero a partir de una velocidad positiva si la aceleración fue positivo o cero. Pero esto contradice nuestra suposición de que la función de aceleración fue una agradable suave función derivable! La aceleración fue instantáneamente de un valor negativo a un valor positivo, sin pasar por cero, y por lo tanto no era una buena función continua.
La única posibilidad es que la aceleración es cero en el punto donde la velocidad es cero. Que es precisamente lo que se quería mostrar.
No puedo pensar en varias situaciones en las que una partícula tiene una aceleración de cero a pesar de estar en la instantánea resto. ¿Qué está pasando aquí?
Lo que pasa es que en todas esas situaciones, la aceleración es discontinua en ese punto, o la velocidad no es en realidad una función de la posición, como es requerido por sus matemáticas.
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