Esto también se puede hacer uso de variables complejas.
Supongamos que buscamos para evaluar
\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} {2k-2\elegir k-1}
{2n-2k+1\elegir n-k}.
Introducir la representación integral
{2n-2k+1\elegir n-k} =
\frac{1}{2\pi i}
\int_{|z|=\epsilon}
\frac{(1+z)^{2n-2k+1}}{z^{n-k+1}} \; dz.
Este tiene la propiedad de que es cero cuando k\gt n.
Obtenemos para la suma
\frac{1}{2\pi i}
\int_{|z|=\epsilon} \frac{(1+z)^{2n+1}}{z^{n+1}}
\sum_{k\ge 1} \frac{1}{k} {2k-2\elegir k-1}
\frac{z^k}{(1+z)^{2k}} \; dz.
Recordar que la generación de la función de los números de catalán
\sum_{q\ge 0} \frac{1}{p+1} {2t\elegir q} w^q
= \frac{1-\sqrt{1-4w}}{2}
Esto es igual a
\sum_{q\ge 1} \frac{1}{q} {2q-2\choose q-1} w^{q-1}
así que
\sum_{q\ge 1} \frac{1}{q} {2t-2\elegir q-1} w^q
= \frac{1-\sqrt{1-4w}}{2}.
Sustituir en la integral para obtener
\frac{1}{2\pi i}
\int_{|z|=\epsilon} \frac{(1+z)^{2n+1}}{z^{n+1}}
\frac{1-\sqrt{1-4z/(1+z)^2}}{2} \; dz.
Esto tiene dos componentes, el primero es
\frac{1}{2} \frac{1}{2\pi i}
\int_{|z|=\epsilon} \frac{(1+z)^{2n+1}}{z^{n+1}} \; dz
= \frac{1}{2} {2n+1\elegir n}.
El segundo es
-\frac{1}{2} \frac{1}{2\pi i}
\int_{|z|=\epsilon} \frac{(1+z)^{2n+1}}{z^{n+1}}
\sqrt{1-4z/(1+z)^2} \; dz
\\ = -\frac{1}{2} \frac{1}{2\pi i}
\int_{|z|=\epsilon} \frac{(1+z)^{2n}}{z^{n+1}}
\sqrt{(1+z)^2-4z} \; dz
\\ = -\frac{1}{2} \frac{1}{2\pi i}
\int_{|z|=\epsilon} \frac{(1+z)^{2n}}{z^{n+1}}
\sqrt{(1-z)^2} \; dz
\\ = -\frac{1}{2} \frac{1}{2\pi i}
\int_{|z|=\epsilon} \frac{(1+z)^{2n}}{z^{n+1}}
(1-z) \; dz.
Este evalúa a
\frac{1}{2} {2n\elegir n-1}
- \frac{1}{2} {2n\elegir n}.
Factorización de la suma de las dos contribuciones a revelar el término de destino
obtenemos
\frac{1}{2}
\left(\frac{2n+1}{n} + 1 - \frac{n+1}{n}\right)
{2n\elegir n-1}
= {2n\elegir n-1}.
